CHAPITRE III. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS

sans changement dans les invariants. Il suit de là que, si 2Û) est une période quelconque, 2aw en est une aussi. Pour préciser davantage, observons que e,, e^ reproduisent <?2 multiplié par a et a2.

Nous avons distingué e, comme ayant sa partie réelle positive; donc, si e-2 est positif, nous aurons

«1 = ae2, 63 = a^gj.

Prenons ce cas, et faisons u == 0^2! il en résulte

p(aco.2) = ae.2 ou p(aco2) = Cj = p(wi).

Par conséquent, m et m' étant deux entiers de la même parité.

W9 — oj, , / , ./3\ , ,

Si le signe -^ convient, en séparant les parties réelles et les parties imaginaires, nous aurons

D'après la première égalité, m est l'unité, m' est donc impair, et

ioj2 ^n — i

Mais ce rapport est supérieur à l'unité, on l'a prouvé dans le paragraphe précédent; il ne peut donc être égal qu'à y^. Si le signe — convient, on a m = o, et

( 7n -^ ^ ) w, = Wo

avec /?i' pair. Là encore la conséquence est la même. Donc, pour ^2 = 0 et o'3>o,

tW2

L'inversion de C1J2 et ~ correspondant au changement du signe de ^3, on a aussi pour go = o, ^3 -< o,

to'2 î

ÏMz ~ y/3

En joignant ces résultats aux précédents, nous pouvons conclure ce qui suit :

g3>0, gi>0,

ltx)2

gZ>0, g2=0,

iOJ2

g3<0, gï=0, -^ = ;

gz<0, g2>0,

Cas où g3 est nul.

iOJa y/

En ce cas, on a

Ja \/^J^—gi

et il faut observer que go est négatif comme le discriminant, qui se réduit à gl.

En mettant dans l'intégrale, au lieu de j',

on obtient

7 = W—gi/i, a/âv^— 02^2=/ , r*

Suivant les notations des intégrales eulériennes, l'intégrale au second membre est

Cette dernière transformation fait apparaître la transcendante numérique A, trouvée au Chapitre II (Cas où ^3 est nul),

Je * d.r ' ==1,3110287771..