CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQIES. 40Ç

Celle-ci n'est convergente que sous condition (ii), comme aussi la série trigonométrique (3i) de ce Chapitre; au contraire, la série (3i) du Chapitre XII est toujours convergente.

Mais les séries du dernier paragraphe présentent de ])liis la convergence rapide qui caractérise les séries ^ : les exposants de q varient comme les carrés des termes d'une progression arithmétique. C'est là une circonstance bien plus importante pour les applications.

Pour peu qu'on observe à quel groupement des termes est du ce fait remarquable, on \o'\l la possibilité de le reproduire dans \'A série générale (12), qui représente la fonction de seconde espèce, et, par conséquent, dans toutes celles qu'on en déduit. Soit la série

a'"".r'«7«, • =1, 2, 3, ..., -hx,

OÙ l'on suppose

conditions sous lesquelles existe la convergence absolue. Prenons deux entiers positifs arbitraires a, v, premiers entre eux, et mettons en évidence la différence 'xn — yni=p. Nous allons réunir les termes de S, dans lesquels /? est positif, et multiple de u. plus k, A' étant un des nombres o, i, 2, . . . , ( -j. — i). Dans ces termes, vm est un multiple de a, moins Â', ce que nous rappellerons en mettant nik au lieu de m. Soit Sy; cette partie de la série S; elle compose la série à double indice, p, in^^ que voici :

S/, = >a!^ a-"Uj-!J-

Dans cette dernière, faisons une première sommation par rapport à p, qui prend les valeurs k, k -{- [x, k -i~ 2<j., .... Nous aurons alors

Tous les termes de S où p est positif sont fournis par la somme des séries analogues Sq, S,, ..., S^^i. Quant aux termes où p est négatif, on voit par l'échange des lettres qu'ils sont reproduits par ceux de v autres séries S'j, S',, . . . , S',^ analogues

S/,= >a'' y«7,a-v a/î/; =— /i(modv).

Les nombres h doivent parcourir la suite i, 2, . . . , v et non o, i , 2, . . . , (v — i), pour que les termes où /> est nul ne soient pas comptés deux fois.

• La série S est ainsi transformée de la manière désirée : dans les séries Sq, S,, ..., Sjj,,, la partie principale de l'exposant de a croît d'une manière comparable au nombre v/-, /■ étant le rang du terme; dans les autres S',, S!,, ..., S^, d'une manière comparable au nombre [j.;--.

Celte transformation s'applique immédiatement à la série (12), qui représente la fonction de seconde espèce. Il suffit de remplacer a par q- , et ^ , y par ^-5 t- successivement et par

En effectuant cette transformation avec l'hypothèse \i= 1,7 = 2, on obtient une série qui ensuite, par la supposition i- = z~^, conduit immédiatement à celle (54) que nous avons trouvée pour développer l'inverse de du. Nous nous contenterons de donner seulement le résultat de la transformation dans le cas le plus simple p. := I , V ^= I . On a une seule série S/, et une seule S^ :

^myin -r-^ rj!}t{in + \) j-iii+ly

CL»' y

ou, sous une forme plus symétrique,

ni- y. 1)1 ■\rilt

X'nyï

Cette transformation, appliquée aux séiMCs (12), (18), (26), donne les l'ésultats suivants, où nous employons les mêmes