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~ni^-\ lin

-Un+l) f—in

i — q"^z- \ — q"^z- J(jn{ii+V I r ■

(Oi

De ces formules, en faisant sur ries mêmes hypothèses que plus

ut, ou en tirera d'autres pour "Cu, ..., ^^ ^ •••; par exemple :

1 ■ ^ ^ :!ryi *■

\ — \^u — — COtrt

i = 4 y v/^ U\nma-q'ns\n(m-^.)a ^ g'- ^.^^ ^ ^ \ ^^v/ y I ^f^//î (.os2a -^^2//t i — q'" J

i = 1 y v/o^û^u sin(n-^,,a-y"sin(;z-i)a y ^^;;iy7;rTïT ÎÎHUIL

l '^^^ .-2««COS2a + ^2« -<-4^V/ i^,»

2 oj r'i ;i

— coto

^ 'IL ^--^ rs'in ma — g'" sin (m — a.) a q"is'n\nial

= ^ 2d^~~^'' ^^^"'' l i — 2.q"'cosia-^g^"' i-t-<7"' J"

Il n'est pas utile d'écrire ici toutes ces formules, que chacun

442 l'REMlÈRE PARTIE. — THÉORIE.

pourra aisthnent former au besoin. On peut remarquer encore les -suivantes, avec treize analogues, qui s'obliennent par la supposition i" = //,

.,v- (I — q'^^') sinav a ^ icf ^-mia cosava 1 — iq^' co SI a -\- q^"^

(66) i \ ^ e ^^ — 2 cota, si v est pan-,

I IM j{lU) —-7- . . .

- — -e '^ , SI V est nnpair.

, : si

I — ■ sin(2p -!- r)a — qP sin(a/> — 1)1

I — -JbqP cos la -V- q^P • — - — ^e " r — ; /» = i,2, j,

Mais c'est surtout pour la supposition particulière p = — xi que la transformation précédente est particulièrement préparée, et nous allons examiner les formules qui s'y rapportent.

Développement des inverses des produits formés avec deux fonctions a'.

Parmi les seize fonctions mentionnées au Tableau (3o), il y en a quatre dont le numérateur est d(^u + c); elles deviennent nulles si l'on suppose c = — u\ mais leurs dérivées reproduisent, pour V z=. — ;<, les inverses des carrés des quatre fonctions dr^u. Nous pouvons d'abord mentionner, pour ces fonctions, des développements (jui convergent seulement pour des valeurs de //limitées par les conditions (40 ou (42). Ainsi, dans la formule (10), en échangeant r, h, prenant la dérivée par rapport à f, puis supposant «' = — //, on obtient

k2to\- I - — '-' T ,V^ COSf/Ji -i^a <7'«COS/«YÏ

T.) 'i-^it sin2« ' jLd ^ \— iq'" cosja-^ q-i'"

formule où il suffit de changer a en ( ^' + 7) pour avoir le déve-

loppement de — -t^ ■— ^— e ^ .

fjo;