CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES

Semblablement, la formule (aS) donne celle-ci

II /:>. oj\- I — v^ / — cosl'n — i)a — q" co^( n -\- i)a ( ) — e f>> = { > /j V fi"^ ^ — ; U'2 V ~ / ^3 " -^ ' — a<7" cos2<x -^ <7-'* /i = 1 , 3, j, . . . ,

et le changement de a en ( a — - ) fournit le développement de

r-^ ( — ) —^—e^ . On formera, à volonté, les développements ana-

logues pour les inverses des produits des fonctions jy^u., deux à deux. Mais ce sont les formules (60), (61), (62) qui doivent fournir les séries les plus remarquables. Prenant dans l'égalité (60) la dérivée par rapport à v^ puis faisant v ^- — u, nous obtenons

•%r\ , — jT m m q'"-z-- q'"z- 1

^^^ J I — 2^'" cûS2a -H^2'« (I — 2<7'« cosaa -t- 'Z^'" j2 I '

ni = 2, 4j 6,

La même série où les nombres pairs m sont remplacés par les nombres impairs n donne le développement de la fonction

L'égalité (62) donne une série ressemblant beaucoup à celle (54) qui représente l'inverse de du

ff.'ù^

Il -:■>. u sina

V('— ]\P ^qP'p-^i'

= 4 siiirt 7 (— I i/V^''^'"*"'

l — qPz- i — qPz'- I -r- ql'

I — a*//" cos2a -i- q-P'

On voit que cette série reproduil elfectivement la précédente (54) si l'on y change ^ en (/-. Cette circonstance, que l'on s'ex-

plique par les expressions de d et a'3 en produits (XII, 17 et 22), sera étudiée dans la théorie de la transformation. Semblablement, le changement de ^ en — q échange entre eux c'a et 0*3 sans altérer i. On a donc immédiatement

T. "iii 02 u sin a

f =4sina\^(— Il 2 ^qi,{i>^ï)

%{ — q)P cosaa -{- q-i'

comme on peut aussi le tirer de (62) par le changement de v en ((0 — u). Ce même changement dans l'égalité (60) nous donne

r.it'-

- jUjiU sin2«

4 sin2« ^( — II- <Jq'

I — iq-'" COS4 a-\-q^'" puis, dans l'égalité (61), ce même changement fournit la série

( 7^ ^ - V inr ?r77^. . - = 4^^ - " ^ v/7- ^^^2^os4^ ^- •

Dans ces trois dernières, on suppose toujours

Par le changement de u en [a + w), les formules (72) et (yS) donnent les développements des inverses de a", m s'a w et de 3", w s'a w, les deux autres (74) et (70) se changent en elles-mêmes.

Développement des racines c^ et des invariants.

Reprenons le développement (32), obtenu pour représenter la fonction pu., en lécrivant, suivant nos notations abrégées,

^î cos/ncf

= — 27 i7iq"'P{z"'