H^ I -i- qi

En prenant le terme suivant, ou l)ien en dérivant deux fois, puis faisant u = o, on a encore, à cause de p" u = ^^ p- « — \"-2-,

Combinées avec la première relation (78), ces dernières fournissent les développements de e\^ el, e'\. On en déduit aussi les développements des rectangles e,, e.,. . . . , car on a

— {fir-î — eiCo-^ e,e3-T- e-2e^= e.e^— e\. ...

Pour prendre encore le terme sui\ant, on doit observer les égalités Ci-après :

j)" oja = 1 2 f-x ^ 6 el — \ A'., ) = 1 2 ,^2 e-a ^ 1 8 ^a = G ( 8 eâ + ,^3 ).

On en conclut

f(i^y 6(8.3^^.) =-.iV^.

Ces dernières égalités, avec la seconde (78), donnent les développements des trois cubes e\. On peut continuer et obtenir une infinité de développements analogues, sans qu'il paraisse exister de telles séries pour représenter toutes les puissances dee,, e-i^ ^;|.

Il y a lieu de faire une remarque sur les identités qui s'offrent ici. En ajoutant membre à membre les trois équations (81) ou (82), on obtient de nouveaux développements de ^2 et i>:j. Mais les identités qui proviennent de la comparaison avec les développements précédents, et celles qu'on aurait en poursuivant encore, sont toutes comprises dans celles-ci :

^pi 1l( I = p ( u -+- fo ) -+- p i u -^ 0/ ) -t- p ( H -^ m" ) -^ P II.

conséquence directe d'une formule déjà établie (VI, o3<7), et qui se vérifie immédiatement par les développements (82, 34).

Pour pouvoir aisément retrouver ici les formules propres à la notation ancienne des fonctions elliptiques, on doit se souvenir ([ue l'on a, dans cette notation,

v/ei — <?3 = K, /.-= , k' =

Si donc on retranche membre à membre la première et la troisième égalité (79), on obtient

Nous avons, d'autre part,

(ei — t'3)-= ^'2—361 = liel + el) — el = 'f 6ef — i.^r^-f- 6e| — \gi).

Par conséquent, de la seconde égalité (81) et de la première (78), nous concluons

C'est sous cette forme que ces développements et les analogues se trouvent dans les Fiindamenla nova de Jacobi.

Sur chacune des formules que nous avons obtenues pour représenter les fonctions elbptiques, on peut répéter les mêmes opérations; de là bien des formes différentes pour le développement des invariants. Envisageons les premières égalités fournies par la formule (55), développement de l'inverse de :iu. Rappelonsnous que l'on a (IX, 22)

'u = u gi— — -.g.