CHAPITRE XIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉUIES TRIGONOMÉTRIQIES

Le premier membre de celte formule (55) se développe donc

ainsi

L '-iw \2ti)/ 2 J L \2W/ 2.3 \2a)/ 2.3.4 -3 J

■2. \tJ 3 / \ 2 w /

( 8 \t^ ' 3/ «2 LV ~ / '^f^ i5

\ V 2 OJ

Pour développer de même un terme quelconque du second membre dans la formule (55), nous avons

A — Bcos2a A — B (A— B/-

' [(K-Bf^'3(\-B)^r'

De cette manière, la formule (55) nous donne les suivantes :

p = i, 2, 3, ..., -^ ce.

La première, (83), présente sous une nouvelle forme le dé\eloppement, déjà obtenu, de rjO); la seconde, (84), fournil le développement du carré r^-oi-. Mais la différentiation, par rapport à q, suggère un moyen différent pour obtenir ce développement et d'autres analogues qui se peuvent tirer encore do la formule (55).

Prenons les équations différentielles (IX, 82) auxquelles satisfont les trois quantités r,a), ^of^S c'a ^"5 ^^ })OSons

45o PREMIÈRE PARTIE, — THÉORIE.

les équations différentielles acquièrent alors la forme suivante :

(85) \ -7r^= 8XY-12Z,

^ ^ 1 dlogq

T^ = '2XZ-|Y2.

Nous possédons les développements (77) et (78) des quantités X, Y, Z; nous en pouvons déduire les développements de leurs dérivées. Par le moyen des équations (85) nous lirons de là d'autres développements. Ainsi, suivant (77) et (78),

216 T\OÂiU

Par la première équation (85), nous en concluons le développement de X-, ou, sous une autre forme, l'identité

la seconde équation (85) donne, de même, le développement de X\ , ou ridentilé

V niq'"P V m^q'"i> = — V //( ( aV — 72 '«' — rk '«^ + s m'^P )q""'.

Les équations (78) et (85) fournissent une infinité d'identités analogues.

Développement des quantités v/^a — ci^, — En supposant n = o dans les développements (56), (58), (Sg), on a