CHAPITRE III. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS

On a ainsi, dans ce cas particulier,

Lemme sur les expressions asymptotiques de certaines intégrales définies.

Soit à trouver, pour s infiniment petit, une expression asymptotique de l'intégrale

\/{r-ar--^z-^

où l'on suppose que a soit entre B et C, et que '}(«), '^i (/(-) aient des valeurs finies. Partageons \ en deux intégrales U et U', ayant pour étendue : la première^ Tintervalle (B, «); la seconde, l'intervalle (a, C). De plus, pour pouvoir même supposer B ou C infinis, partageons encore U en deux autres Uj, U2 dans les intervalles (B, b) et [b, a)\ et U' en deux autres \]\ et U'j dans les intervalles (a, c) et(c, C). Nous allons d'abord trouver une expression asymptotique de

'Ifiy) dy

Considérons l'intécrrale

'bia)dy

-^(a)loj

Dans la différence

J, s/{y-af-^z^

la fonction intégrée ne devient pas infinie quand e est infiniment petit. Donc la limite de l'intégrale est égale à l'intégrale de la limite, c'est-à-dire

e = o Jf, a— y

On remarquera qu'il faut mettre effectivement (« — j') c. non (jK — Cl) pour la limite de \^(y — «)- -+- 1- , puisque ce radical est pris positivement et que,/, dans l'intégrale, est moindre que a.

Cette dernière intégrale peut être considérée comme la limite de

quand a tend vers «5 précisons davantage en supposant encore a ■< «. D'ailleurs

r^<\i(a)dx a — a

donc

e = 0 a-~a\J^ Cl— y \

Substituons à a son expression finie et faisons passer le terme (];(a)log(« — Z>) au premier membre; observons, en outre, l'égalité suivante, où z est supposé infiniment petit :

4,(a)log- ' +4>(a)log(a-6)

v/(.a — bf— t^ — {a — b)

= -(];(a)log A=F ^ ;-! =~'^(^)'°StT2*

Nous pouvons maintenant conclure limrU2-'|^(«)log^l =lim r llïi^li^ +,!;(«) log(a- a), a < a.

D'ailleurs l'intégrale U( , prise dans un intervalle qui ne contient pas «, converge, pour £ =: o, vers l'intégrale de la limite, c'està-dire vers

Jii a-y ' Donc, en ajoutant U( elUj, on a

lim [u - •}(«) log ^1 = lim [ r ^p^ + ^(a) log(a- a)l , a < a;

^^ r" jAy)dy

Jb ^{y-ay-r^t

Pour l'intégrale U', prise dans l'intervalle («, G), le calcul est