CHAPITRE XIV

APPLICATIONS DE LA THÉORIE GÉNÉRALE DES FONCTIONS A CELLE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES.

Préambule. — Double périodicité. — Parallélogramme des périodes. — Intégration le long d'un parallélogramme des périodes. — Décomposition en éléments simples. — Décomposition en facteurs. — Décomposition des fonctions de seconde espèce. — Intégration dans l'étendue d'une période. — Théorème de Liouville. — Fonctions de troisième espèce. — Séries doublement périodiques de troisième espèce. — Éléments simples et entiers de troisième espèce. — Élément simple et fractionnaire de troisième espèce. — Décomposition des fonctions de troisième espèce, ayant plus de racines que de pôles. — Décomposition des fonctions de troisième espèce, ayant plus de pôles que de racines. — Propriétés de l'élément simple, relativement au second argument. — Quelques formules relatives aux fonctions de troisième espèce.

Préambule .

Dans les Chapitres précédenls, on a fait un usage exclusif des théories les plus élémentaires, ou, pour mieux dire, des théories anciennes de l'Analyse. Nous allons montrer maintenant les applications simples et élégantes par lesquelles la théorie générale des fonctions, envisagée dans ses premiers éléments, jette un jour nouveau sur les fonctions elliptiques.

Il faut, dans le présent Chapitre, admettre, comme bien connue du lecteur, la notion des fonctions entières (holomorphes) et des {oucûons fractionnaires (méromorphes) ('); celle aussi des intégrales prises entre des limites imaginaires, avec le théorème de Cauchy relatif à l'intégration d'une fonction fractionnaire le long

(') La formation étymologique des mots holomorphe et méromorphe prête à des critiques. C'est pourquoi on préfère ici les dénominations de fonction entière et fractionnaire, dont le premier est déjà généralement employé.