CHAPITRE XIV. — APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS

d'un contour fermé. Deux propositions, dues à Caucliy, et qui, dans tous les Traités actuels d'Analyse, accompagnent ces notions générales, seront, en outre, employées et rappelées en leur lieu.

Nous allons d'abord étudier les fonctions doublement périodiques, en général, et reconnaître qu'il n'en existe point d'autres que les fonctions elliptiques. Nous exposerons ensuite une tbéorie, toute nouvelle, de décomposition en éléments simples, due à M. Appell.

Double périodicité.

Jacobi, dans un jMémoire (^) de i834, expose ainsi les premiers principes de la double périodicité :

(.( Supposons vme fonction admettant deux périodes, qui ne puissent être ramenées à une seule. Soient 2oj, 2co' ces périodes. En désignant par m, m' des nombres entiers quelconques, positifs ou négatifs, on en conclut aussi la période iintù + o.m'10'.

» Il est d'abord évident que les périodes 2w et 20/ doivent cire incoinmeiisurables entre elles; car, si 9.Ù était leur plus grande commune mesure (en valeur absolue ou module), on pourrait poser

o) = niQ., 10 = m il,

ni et m' étant des nombres entiers, premiers entre eux. On pourrait donc déterminer deux autres entiers n, n' , de telle sorte qu'on eût

mil -r- m! 11! =■ I.

)) Il en résulterait

1 n co -t- 2 /l' oj' ^^ 2 12,

et 2Q serait une période, à laquelle se ramèneraient 2(0 et 2to', qui en sont des multiples.

» Le quotient des deux périodes, on vient de le voir, ne peut

(') De functionibits duarum variabiliuni qitadrupliciter periodicis , etc. {Journal de Crelle, t. 13, p. 55, et Gesanunelte Werke, t. II, p. 25).

être commensurable. li est aisé de reconnaître aussi qu';7 ne peut être réel. Soient, en effet,

£ et î! étant deux quantités réelles, incommensurables entre elles. On peut trouver des entiers în, m\ tels que

im ^- ni'z' = t

soit plus petit que toute quantité donnée (on le sait par la théorie des fractions continues). Cela étant, iz"ù sera une période, plus petite que toute quantité donnée, mais cependant différente de zéro. Ce qui ne se peut. »

Cette impossibilité, affirmée sans preuve par Jacobi, résulte clairement d'une proposition empruntée à la théorie des fonctions, et se formulant ainsi : Les points, pour lesquels une fonction fractionnaire reprend une même valeur, sont isolés, si la fonction ne se réduit pas à une constante (' ).

Parallélogramme des périodes.

Nous supposerons désormais que w et w' soient deux quantités imaginaires quelconques, dont le rapport ne doit pas être réel. C'est précisément, comme on l'a vu (p. 284), la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe des fonctions elliptiques admettant les périodes 2(jj, 2to'.

Ainsi qu'on l'a déjà fait observer (p. 284), on peut, sans restriction, convenir de choisir d'une manière déterminée le signe de

la partie réelle de ^ • Ce sione chanïre, en effet, si l'on intervertit

V) et Cl)'. Comme précédemment, nous choisirons le signe plus.

Quand on représente sur le plan, comme il est d'usage pour les quantités imaginaires, les deux quantités 20J, 20)', la convention, dont il vient d'être parlé, se traduit fort simplement sur la figure. L'angle que la droite dirigée, représentant 2oj', fait avec

(') Voir, par exemple, le Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, par M. C. Jordan, t. II, p. 3i4. L'énoncé ci-dessus est textuellement emprunté à cet Ouvrage.