CHAPITRE XIV. — APPLICATIOXS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS

la droite dirigée, représentant aw, est l'argument de — Par conçu' -/Il . . to , ...

vention, -- a sa partie rt-elle positive; — a donc sa partie imaoï-

naire positive. Le sinus de cet angle est donc positif, et l'angle luimême est compris entre zéro et une demi-circonférence.

Soit a une quantité imaginaire quelconque. Considérons les quatre points qui représentent les quatre quantités

(i) «, a -^2(0, a 4- 2C0 -^- 2to', a-i-aoj'.

Ce sont les sommets d'un parallélogramme. Supposons qu'un rayon vecteur pivote autour d'un point situé dans l'intérieur de ce parallélogramme, et que son extrémité en suive le contour dans le sens fixé par l'ordre qu'on vient d'assigner aux quatre sommets. Ce rayon vecteur tourne alors dans le sens positif. Il tournerait,

au contraire, dans le sens négatif si la partie réelle de ^- était

négative.

Ce parallélogramme s'appelle parallélogramme des périodes. Nous allons envisager des intégrales prises le long de son contour. Le contour sera toujours supposé décrit dans le sens qu'on vient d'indiquer.

Après avoir tracé un parallélogramme des périodes, on peut prendre chacun de ses côtés pour côté d'un nouveau parallélogramme des périodes. En répétant cette opération, on partage le plan en une infinité de parallélogrammes égaux. Dans deux parallélogrammes différents, deux points homologues représentent deux quantités qui diffèrent seulement par une période.

Intégration le long d'un parallélogramme des périodes.

Soit/(;/) une fonction fractionnaire que nous nous proposons d'intégrer le long d'un parallélogramme des périodes, ayant les sommets désignés ci-dessus (i). Posons

/(m + 2w)— /(«) = ^l(îO»

/(m -4- 2W') /(ît) = tf2(«)-

Les quatre intégrales partielles, prises successivement suivant

/|58 PKEMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

les quatre cùlés du parallélogramme (i), sont les suivantes, comptées en ligne droite :

J\u)du, I f{ u ) du — I /'( H -h 1 oj ) du

^(( + 2(0' ^n-hilù'

j oi{u)du^ f{u)du,

3" / y ( u ) du = / /( ii + 2 w' ) du

^ « + 2 W ^ rH- 3 (O

= — / o.i{u) du — / f{u) du,

/'( u ) f/î/ = — / ./( " ) du.

,. -t-2 (O' ' rt

La somme de ces quatre intégrales se réduit, comme on voit, à celle des deux seules intégrales portant sur o, et cpo.

Soit R la somme des résidas des pôles de f{u), intérieurs au parallélogramme ; d'après le théorème de Cauclij, 3 f'-R représente l'intégrale totale (le sens de rotation étant positif). On a

donc l'égalité

^ '( 4- 2 W pli ^liù

/ ?i ( " ) du — / 7-2 ( « ) du = 'i ir. R .

Cette relation (3) est la source des principales pi'opriétés des fonctions doublement périodiques.

Supposons /(?^) doublement périodique. En ce cas, cp< et cp^ sont identiquement nulles; donc, d'après l'égalité (3), la somme des résidus des pôles d'une fonction fractionnaire et doublement périodique est nulle, ces pôles étant pris dans un même parallélogramme des périodes. C'est la propriété qu'on a trouvée (p. 2o4) pour les fonctions elliptiques.

Supposons o, et Oo des constantes c, c', en sorte que la fonction /{u), par l'addition des périodes, se reproduise -augmentée des constantes c, c'j les intégrales du premier membre, dans l'éga-