CHAPITRE XIV. — APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS

H té (3), sont alors acto' et ac'oj, et l'oa a

( 4 ) c co' — c' M = « t: R .

Par exemple, la fonction '^ji est dans ce cas; ce sont alors ar, et 27/ qui jouent le rôle de c et c' . De plus, il y a un seul pôle et son résidu est l'unité; de là provient la relation fondamentale

r, m' — T/to = V, ir:.

Soit, plus généralement, une fonction z>{u) ayant, par analogie avec -iu, la propriété

et que nous supposons fractionnaire. Sa dérivée logarithmique

'^ sera une fonction se reproduisant par l'addition des pé-

riodes, mais augmentée des constantes c, c'. De plus, la somme des résidus R sera égale à V excès ni (positif ou négatif) du nombre des racines de 'j(w) sur le nombre des pôles à l'intérieur d un parallélogramme des périodes, et l'on aura, suivant (4),

ffi) coj' — c' i.<y = i~/)i.

Ainsi la propriété (5) ne peut avoir lieu que sous une condition imposée aux constantes : ^^ (cm' — c'to) doit être un nombre entier. On trouve encore cette condition de la manière suivante : d'après (5), on a

En intervertissant w et o/, on aura une seconde expression de C5(« 4- 20J -t- 2 0j'); elle devra coïncider avec la précédente, puisque la fonction © est supposée uniforme. On aura donc

ce qui entraîne la condition susdite. Mais, par celle voie, on n'obtient pas la signification si remarquable de l'entier m.

a6o première partie. — THÉORIE.

Décomposition en éléments simples.

Soit/(::) une fonction Iraclionnaire et doublement périodique. Prenons les fonctions elliptiques, de mêmes périodes, et considérons le produit

F(z) =/{z )\-^{z. - H,)-lAz. - u)].

C'est aussi une fonction fractionnaire et doublement périodique, comme chacun des deux facteurs. La somme des résidus de ses pôles est donc nulle. Evaluons ces résidus.

Soit d'abord ;; = p un pôle def(z), et supposons-le multiple d'ordre (5 + 1). Prenons le développement de /(;:;) suivant les puissances ascendantes de (~ — p), limité aux termes à exposants négatifs

On a, d'autre part,

(z — vY ,

Pour le second terme de F(::), savoir — f{z)'C{z— u), le coefficient de {z — ^)~', c'est-à-dire le résidu p, se compose donc de la somme

(y) p = l-Q{u — v) + m^piu —v)-i- /Hip'ia — c)-^...-!- /n .v i p '•'•■-" (« — (-')-

11 se trouve, dans la somme des résidas de F(^), autant de quantités analogues p qu'il y a de pôles de/(:^) dans un parallélogramme des périodes. Pour chacun d'eux, (5-f-i) est l'ordre de multiplicité. La somme des résidus du second terme de F(:;) comprend ainsi la quantité S p. Mais, en outre, il s'y trouve encore le résidu du pôle du facteur — l,{z — u). Ce pôle peut être considéré comme étant - := u, et le résidu est — fi^i)- I-'^ somme totale des résidus de — f{z) ^{z — u) est donc — /(«) -h Sp.

De même, la somme des résidus du premier terme /(:?)^(c — u,)