CHAPITRE XIV. — APPLICATIONS DE LA THÉORIE DES FONCTIONS

est f(u,) — 2p,, si l'on désigne par p, la quantité p où l'on remplace u par M,; on a donc la relation

En considérant u comme seule variable, on peut représenter f{ii\) — S?i par une simple constante [B. Nous avons donc celte formule de décomposition en éléments simples pour toute fonction f{u) fractionnaire et doublement périodique

C'est précisément la formule de décomposition établie au Chapitre VII (p. ao5) pour les fonctions rationnelles de pu et p'u. Donc toute fonction fractionnaire et doublement périodique est une fonction rationnelle de pu et de p'u.

L'analyse que nous venons d'employer est celle même (à une petite modification près) par laquelle M. Hermite a découvert la décomposition en éléments simples ( ' ).

Les fonctions fractionnaires qui, par l'addition des périodes, se reproduisent augmentées de quantités constantes, s'expriment, elles aussi, par les fonctions elliptiques. Soit, en effet, f{u) une telle fonction, avant les propriétés

i /(" — 2 OJ )—/(«)= C, ( /(«+ 20J )—f{U) = C.

Il est manifeste qu'on en peut déduire une fonction doublement périodique par l'addition du binôme au -{-/."Çu, avec des coefficients a, )., convenablement choisis. On trouve ainsi la formule de décomposition suivante

(lO)

dans laquelle p a encore la forme précédente (7); mais, tandis que,

pour les fonctions doublement périodiques, la somme 1,1 des ré-

•1 l'A 11 • • 11 1 • « / 1 > (''^' — c'a) sidus doit être nulle, ici elle doit être égale a 7^

(') A'ote sur la tliéorie des fonctions elliptiques, ajoutée à la 6' éditioa du Traité de Calcul dijjérenliel et de Calcul intégral de Lacroix.

Décomposition en facteurs.

Au lieu de considérer les fonctions doublement périodiques, prenons les fonctions fractionnaires plus générales, qui jouissent de la propriété (5)

o{u -h 2(xi' ) = o(u) 6^^'"+/''.

%oil f{u) ^ ^, — ^; cette fonction a les propriétés précédentes

(q). Elle est donc exprimaLle par la formule (lo); mais tous ses pôles sont simples et les résidus sont des nombres entiers, positifs ou négatifs, en sorte qu'on a

cr.

f(u) ^ — ^-— -- Il -i-'^-h S/^(« — t^).

De là résulte, par intégration,

(19.) ^{u)=Ce 2<7t ' U[^{a—v)Y.

Les exposants l sont entiers, positifs ou négatifs, et leur somme reproduit ^^ 5 ce qui est contorme a la propriété cleja reconnue et exprimée par l'égalité (6).

Les fonctions fractionnaires, telles que î2(;/), ont été désignées par M. Hermite sous le nom de fonctions de troisième espèce. Les deux cas particuliers des fonctions doublement périodiques ordinaires ou de première espèce (c ^ c'= /i = /i'= o) et des fonctions de deuxième espèce [c = c' = o) ont été spécialement envisagés ici; pour les premières, nous venons de retrouver la décomposition en éléments simples ; pour les secondes, cette décomposition a été déjà étudiée au Chapitre VIL Pour les fonctions de Iroisième espèce, nous parlerons un peu plus loin de leur décomposition; mais, avant de poursuivre, nous devons nous arrêter un instant sur les fonctions de seconde espèce.