CHAPITRE 111. — DISCRIMIXàMS NÉGATIFS

analogue. Nous prenons à la fois

ii( y) dv

'l(a) dy

'a s/iy — af — t'^ Par la même raison que précédemment

lim(U,— «)= / ' -^ '— — dy = hm 1 ^^ ■ dy; (a > a).

£ = 0' ' J„ y -a ■" rj.=,aj.j. y -a

r''i>{a)dy ,, ,, a' — a

Ja- 7 — « ° c — a

limfu;-6(a)los-) := lim f iiZ}^ ^ .^(a) log(a'- «) , £=oV ' ' "-/ a'=n[^J.^. y — a J

lim(U' — 6(a) log j j = lim / '^ -^ "^ -4- 'I/(a) log(a' — q) ,

En ajoutant maintenant U et U', nous avons le résultat cherché

limfv — -i.(a)log4 ) = lim T ^^^^^^^^' — d/(a) logCa — a; (a<a),

^ lim f iiZlil!.' ^ ^ (a) log( a' — a )(' a' > a).

OL=alJ^. y — a ' ° J

C'est en quoi consiste le lemme que nous avions en vue d'établir. Appliquons ce résultat en supposant

^(7)- Nous aurons ~ <l'(r)dy

Vr-^

« > o, B= — 2a, G=-i-oo.

r'^iy)dy ^ r^ dy

Jn ^ y J-2a'^^a — y ) s/ y -ri. a

I i^Za — \'ia — -J.}' lo " :

r^Jll^ ^ ^(a)log(a- aj = -L^ log(/3a - /Ï^TTi;)^

Cette quantité, pour a ^ «, prend la valeur — =\ogi2a. Nous avons de même

"'^/iTTT^' ^^ — 3 « 2 v/3 rt " a' — a

t/ Q^' «/ 2 y j CT

dont la limite est aussi — - — log 12a. Le résultat est donc

Expressions asymptotiques des périodes quand le discriminant

devient nul.

Revenons maintenant aux périodes de la fonction elliptique. Supposons ^2 >> o et ei, e^ convergeant l'un vers l'autre; en prenant e-i = 2a, e, = — a + ie, 63 = — a — it, l'intégrale précé-

dente n est autre que -^ ^ et nous avons

hm -T= -= log 1 = o.

£ = ol i 2/3a V £ /

En même temps, on a

Iimaj9= / . — / ô = — —=•

Exprimons ces résultats par les invariants

ffi = — ^(eiCi -+- e^ez-i- 6-263) = 4(3a2— £2),

n-3 9— rrî . 96 "i't fl't cl

^=T=-S' (l)'^-^^' lim2/3^ = V2/34=^^^2=v/(i^i7.