I. IV = 1 k M -^ 2 /l'to

S == 2 Ar, — 2k'r,

On voit qu'il n'y a aucune restriction si l'on suppose A' = A"'= o, et l'on peut admettre comme forme générale des fonctions '^{u), ayant mêmes multiplicateurs que '^{u), la suivante :

( 23 ) CD ( i/ ) = G e -^ ■ , \ Y —, ^ — 7- '

avec la condition

(26) ai -h a,-T-. . .-^ap+,n= 6, -f- ^.-r-. . .-i- b,,.

Par conséquent, en prenant trois constantes arbitraires P, P', a, et composant la fonction

on aura le type le plus général des fonctions fractionnaires de troisième espèce, dans lesquelles l'excès du nombre des racines sur celui des pôles est égal à m.

Éléments simples et entiers de troisième espèce.

Dans la définition (20, •>.?>) àe 'h [u) , figure une fonction rationnelle arbitraire Q; mais cette fonction peut être décomposée en éléments simples, en sorte que les diverses séries '\{u) se réduisent à des types distincts, en nombre limité.

Tout d'abord se présentent les séries où 9 est supposé un polypôme entier. Considérons celles où B(^) est réduit à i, ^, x-, . . . ou .2;'""'. Ce sont m fonctions entières différentes, et nous désignerons par JLr{u) celle qui correspond à l'hypothèse B(^) = x^ :

La liaison entre x et u est, bien entendu, exprimée toujours par la relation (aS).

Si l'on remplaçait 9(^) par une puissance de x, d'exposant supérieur à (m — i), on retrouverait l'une des fonctions précédentes. Effectivement, que l'on change, dans (27), n en (^ + 5), on aura

Ainsi, dans la fonction générale '^{if), la partie entière de la fraction rationnelle quelconque 9 donne lieu simplement à une combinaison linéaire des fonctions Er(ii), telle que

(28) XoEo(?0-+-^M El («) + ... -H l,n-iE„i^i{l(),

où les lettres \ désignent des constantes. Ces m termes sont d'ailleurs bien distincts et linéairement Indépendants; ils se distinguent, en effet, par les exposants de x, qui, dans E^., sont des multiples de m, plus r.

Ces séries ne sont pas nouvelles; elles reproduisent ?J^ avec des arguments convenablement choisis. Prenons, en effet, la défi-