CHAPITRE XIV. — FONCTIONS DE TROISIÈME ESPÈCE

nition (VIII, 17) de 37,, après y avoir changé q en q"^ . Nous pourrons écrire

izq~^'b^{v, q'n) = ^ q"i»(n-V(.

Comparons à celte série cette autre

x-''Er{u) =^ q"i"'"-iHx"'q '-'■)",

et concluons à l'identité des deux premiers membres sous la condition

c'est-à-dire, pour les arguments ?/, c,

( 29 ) ( 2 (^ -T- i) w = m ( î< — o) ) -^ 2 /i oj -^ ■> /• (jj'.

Sans insister autrement sur ce sujet, qui se rattache à la théorie de la transformation, concluons seulement à la connaissance des racines de E^(«). Dans la fonction 27( employée, q a été remplacé par q'"^, ce cjui revient à conserver to et à remplacer to' par m tu'.

Les racines v de l^i ont donc la forme o:énérale y. -r- 'x' j

'X et a' étant des entiers, et celles de £,-(«), d'après ('^-9), sont données par la formule

Il — oj = co -f- ( 2 ;JL

ni \ i

On voit que (w— — — w) est une /?i""*' partie de période. Chaque fonction E,- a m racines, et les m- racines des m fonctions, diminuées chacune de — oj, reproduisent toutes les