IL

^jiLmei parties de périodes.

Élément simple et fractionnaire de troisième espèce.

Prenons maintenant, pour 0, une fraction simple du j)remier degré, sous la forme

Faisons correspondre à la quantité y un argument v, comme a correspond à .r, et désignons par F(^^, ç) la fonction particulière «!>(?/) ainsi déterminée

F(?<,f)=-— ^ xrnnqm.Un-O

Pour le moment, nous considérons F(?/, c) au point de vue de la seule variable u. Ses pôles sont donnés par la formule générale

l/i(.J — xk'Lii.

Cette valeur particulière de u rend infini, dans la série (3o), le terme où n est égal à — k' ; le résidu de ce terme, qui est aussi le résidu de la fonction elle-même, a pour valeur

■i-inti /ji/iii[ii — i)

Les pôles r -+- a/iO) ont pour résidu commun l'unité.

Si l'on voulait supposer, pour 0, une fraction simple du second, du troisième degré, etc., on introduirait ainsi des fonctions qui s'exprimeraient linéairement par F et ses dérivées partielles prises relativement au second argument v. On a, par exemple, en dérivant une fois,

, ,, / y \- àF i- ^

^nin quinUi -V i -i j ^ __ p,

\x(/'-"- — )■/ dç eu

Décomposition des fonctions de troisième espèce ayant plus de racines que de pôles.

D'après les derniers paragraphes, on voit que la fonction '}(w), composée avec la fraction rationnelle 0 la plus générale, se décompose en deux parties, l'une entière E(w), l'autre fractionnaire F(w),