CHAPITRE XIV. — FOXCTIO>S DE TROISIÈME ESPÈCE

Cl que les expressions de ces deux pairies sont les suivantes :

(3.)JF(.„.|[B.F<„..,^a/J:^)-....R„,:qil^>].

Les coefficients À, . . ., R, ... sont indépendants de u, et, dans la seconde partie F(f/), la sommation s'applique aux divers pôles i>, dont, pour chacun,/? marque l'ordre de multiplicité.

Celle même formule (3i) est propre à donner l'expression de toute fonction '-^{u) avant mêmes multiplicateurs cjue '}(«)' fonction dont l'égalité (20) a fixé la nature. En effet, ayant une telle fonction '-^{u), on pourra déterminer F(u') par la condition c{ue '-^iu) — F(w) soit une fonction entière. Il suffira, jjour ce but, que les coefficients R, pour chaque pôle r, soient ceux du développement de o(u) suivant les puissances ascendantes de (« — ("), comme il suit :

ip-iy.Rp-, . (p-i)lR„-, , , Pm , Ro

La différence c;(?^) — F(f/), ne devenant plus infinie, est dès lors une fonction entière, elle-même de la forme (sd), puisqu'elle a toujours les mêmes multiplicateurs c[ue '^(u) etF(«). Comme elle n'a plus de pôles^ la somme de ses racines est une période, zéro, si l'on veut (26). Ces racines sont au nombre de J?i, dans un parallélogramme des périodes, et, si l'on donne (/» — i) de ces racines, la dernière se trouve fixée. Or on peut déterminer les rapports mutuels des m coefficients A, dans E(«), de manière que E(w) ait précisément ces (/?? — i) racines, et, par suite, aussi la dernière, en commun avec '■:>{u) — F(^u). Le rapport de cette fonction avecE(;/) est doublement périodique (de première espèce), puisque les multiplicateurs sont respectivement les mêmes pour l'une et pour l'autre. Mais ce rapport reste toujours fini; c'est donc une constante.

Sous une autre forme, on peut dire que toute fonclion 'f(" K définie par l'égalité (25), est dé^eloppable en une série telle que '}(«)■' Ici fonction rationnelle 0 étant con^'cnablement choisie.

D'après une remarque déjà faite (p. 47 O» toute fonction de troisième espèce, ayant plus de racines que de pôles, se réduit au produit de C3(w-Hrt) par une exponentielle du second degré. Aussi, pour ces fonctions, la formule de décomposition subsiste, sauf changement de u en {^u -4- ci) dans E et dans F, et sauf multiplication de ces éléments par l'exponentielle.

Décomposition des fonctions de troisième espèce ayant plus de pôles que de racines.

. Les fonctions fractionnaires de troisième espèce qui ont plus de pôles que de racines sont les inverses de celles qui ont plus de racines que de pôles. Une telle fonction ^{^ii) a donc pour forme générale

(33) *(îO = e-P"-P'" ;

OÙ '-^(w) est une quelconque (25) de celles qui ont les mêmes multiplicateurs que F(«, v').

Soit, pour abréger,

(34) F(zt — a, ^■ -^ a) eP(«--P-)+P'(«-.') =: ,f (,,, ç,).

Le produit ^(if)^ (?/, r) est, par suite, une fonction fractionnaire de u^ doublement périodique de première espèce. La somme de ses résidus dans un parallélogramme des périodes est donc nulle. En supposant u et v représentés par des points intérieurs à un même parallélogramme, on voit se reproduire ici l'analyse de M. Hermite, relative aux fonctions de première ou de seconde espèce, et l'on conclut

V^ r ^ ^ à iiw. v\ ^ dP-'^ yiiv, v)~\

(35) -^(O— ;Sh-^("'^>^^^-^---^^^-' dJ-^ V

car 3{u, v) a, comme F(?/, r), le pôle u ^= v avec l'unité pour résidu.

Dans cette formule, w désigne successivement les divers pôles de 'I>(f) à l'intérieur d'un parallélogramme des périodes conte-