V IV

Ainsi, et c'est là une circonstance très remarquable, la même fonction F(i^, f), mais considérée au point de vue du second argument, sert ici d'élément simple. Mais ce qui n'est pas moins digne de remarque, c'est que le second membre de la formule de décomposition (35), si l'on y mettait des coefficients R tout à fait arbitraires, ne serait pas doublement périodique (de troisième espèce) comme <ï'(^'). Il convient de s'arrêter un peu sur ce sujet.

Si, pour composer la fonction rf, on avait mis dans son expression (34), au lieu de la fonction fractionnaire F(w + a, r + a), l'une des fonctions entières £,-(?/ + a), la suite de l'analyse se serait faite comme précédemment; mais le produit ^{n) ^{it, t') n'aurait pas eu de pôle provenant du facteur .f , et, dans l'égalité (35), le premier membre eût été remplacé par zéro. Ainsi, soit

(3;) Er{u-^a)eP"'-+P'"=Criu), /• = o, i, ...,{ni—i).

Les coefficients de Ici formule de décomposition (35) satisfont à m écjuations, telles cjue

C'est, en quelque sorte, une généralisation de la propriété spéciale aux fonctions doublement périodiques ordinaires, ou de première espèce, propriété consistant en ce que la somme des résidus Rq est nulle.

Il reste encore à s'assurer que les m relations (38), qu'on vient de trouver, sont suffisantes pour rendre le second membre de la formule (35) doublement périodique de troisième espèce. Ceci nous amène à chercher l'effet de l'addition des périodes au second argument dans l'élément simple, et c'est là im des points les plus intéressants de cette théorie.

Propriétés de l'élément simple, relativement au second argument.

D'après la définition (3o), on voit que F(?/, v) est une fonction fractionnaire de r, et qu'elle possède, dans chaque parallélogramme des périodes, un seul pôle c = w + 2A w -i- aA'w'.

Quoique F(w, t') serve d'élément simple pour les fonctions de V, de troisième espèce, qui ont m pôles de plus que de racines, il est donc certain que F(m, ç) n'est pas, elle-même, une de ces fonctions, puisqu'elle a un seul pôle.

Posons, pour abréger.

cl concluons

^inn (-• inii{n — ï) ■^

xq-"-'- — y

Comparons avec }''"'/{}'), après avoir changé, dans/(j'), n en

jQiii'.il—\) fi 111(11— \.)(il — %) : •

nous tirons de là

(39) JVr-y)-r"Ay) =2^^'"''''-" '/'"'"-''''*"" -^iû^irir^

Mais on a identiquement

Xq'i-W-Vl y

= (xg-"— ^)'"-^-\- y {xq -■''--)'"-- -i-, . . -h y'"-^ x q-'^-- -^ y"^-^ .

La différence (Sp) ne contient donc plus de partie fractionnaire et s'écrit ainsi

= yE,„^i{u)-^y'-E,„^.{u)-h...-hy"'-'Ei(u)-hy"'Eo(n).