CHAPITRE XIV. — FONCTIONS DE TROISIÈME ESPÈCE

Revenons maintenant à F(u, v) pour conclure

I mi~i>

l FffA, f ~ 2w') = ( — i)"'e "^ Y{u,v)

A cette relation il faut joindre aussi la relation évidente (41) F(if, i^ -i- 2cu) = F( a, f ).

Ces deux propriétés donnent lieu à deux propriétés analogues pour la fonction -?(«, v). Soient eu + h et c' u + h' les exposants des deux exponentielles qui constituent les multiplicateurs de J(;^, r), considérée comme fonction de u\ suivant la définition (34) on a

giPW «-^ W 1-^ 2P' W -— gfM4-/i

TniTZ' ri -i- ri ,

Il résulte alors de la relation (4i) cette analogue

— /jP!»- — Pi f + 2W )--f-P'f — P'( c-^20} I -^ P cv—li

en sorte que, pour l'addition de la première période à l'un ou l'autre des arguments, on a les deux relations

Semblablement, de la formule (4oj t^n conclut le résultat de l'addition de la seconde période au second argument, et l'on a les égalités

^(«4-20/, c)= ^(«, i;)ef"+/'', i(M, t;-i-2aj')= -f (m, p)e-'^'''-^'

r — tn—\ '' " g— P(('-!-2w'r — PV + SW)

//i — r 1 1 Tî ( t* -4- n I

Si, dans le second membre de la formule (35), on change v en p l 2(0, on voit, par la relation (42), que ce second membre se

48o PREMIÈRE PARTIE. — TOÉORIE.

reproduit, multiplié par e"'""'^. Mais, si l'on j change v en r + 210', le second membre se reproduit, multiplié par e~'^'''~'^', et il s'augmente en outre de la quantité ci-après

I m — r) îTZi i' -i-ij I

Pour que cette dernière soit nulle, quel que soit c, il faut et il suffît que les relations (38) aient lieu effectivement.

Quelques formules relatives aux fonctions de troisième espèce.

Parmi les séries qui résultent de ces décompositions, appliquées aux exemples les plus intéressants ou les plus utiles, on en a déjà trouvé beaucoup, par une autre voie, dans le Chapitre XIII. Bornons-nous à considérer encore les développements de l'inverse de dif^ élevé à diverses puissances.

Suivant ce qui a été indiqué 'précédemment (34)5 posons, en rappelant le nombre J7i par un indice,

/«( r, it- — /r II )

et écrivons simplement

D'après le développement de cj«(p. 3oo),

et la formule de décomposition (35), on a immédiatement

Ô^ "^ 24'^5 ~ ^'•'5' 3^ ~~~ TâÔ'"^^ ~ 4Ô'^®'

Donnons maintenant quelques détails destinés à faire mieux connaître l'élément simple F(«, r). Nous considérerons seulement