CHAPITRE XIV. — FONCTIONS DE TROISIÈME ESPÈCE. ^Sl

le cas m = i; mais ce que nous allons dire peut être étendu, saui quelques modificalions faciles, aux autres cas.

Dans le cas m = i , il y a une seule fonction entière E(« ),• celle qui doit être affectée de l'indice zéro, indice que nous pouvons supprimer. Elle diffère seulement par un facteur de la fonction ."^i et, par suite, de a*//.

D'après la comparaison faite plus haut (p. 473) et suivant les formules du Chapitre VIII, on a, en effet,

(44) E{u) = — ie^f^ cj *2ri/ — ,q\ = — iq ♦l/-A*:rH.e ^-^

L'élément simple fractionnaire, d'après sa nature, a la forme générale des fonctions '-i(w) (20) et, n'avant quun pôle, il sera représenté par une expression telle que celle-ci

, ■ , —r. Il- -—i-Tiii

:r{ii — 0L\:f{u-^7. — v) — '-—-

cTt » — i>)

Mais on ne connaît pas l'argument a, fonction transcendante fort compliquée, sans doute, de Targument r. ?sous allons exprimer F(?/, ç) au moven de diverses fonctions, dont chacune contiendra une seule variable.

Les deux fonctions de a, F(«, (-) et E(f^), ont mêmes multiplicateurs; leur quotient est doublement périodique. Ce quotient n"a que deux pôles simples ; en le décomposant en éléments simples, on aura donc

(45) F(ii,v)^~^ =Z{u — i'i — -:{i()'i-'l(i'\ v-i / ' ■ Ei u) "^ '

Il suffira, pour avoir Texpression de F(«, c), de connaître 'i>(t'). C'est une fonction nouvelle, dont nous allons facilement trouver un développement. Mais remarquons, en passant, qu'on tire delà

:f(u — a) -iy 11 — v -+- a) ijV

= 1(U V) — tu u a — V) -^ ta = -— ~ ;;;

Multipliant aux deux membres par

on conclut

a'(u — a^^iu — V -^ a) ^''' n-' + n^n—^'^ Y(a,v)¥j(in

'- — ^ g i (') = r ( Il (' ) - •

:ia'ii^u — i^)a'(v' — a) ' E(«)

C'est justement la formule que l'on obtiendrait si l'on décomp.osait le premier membre en éléments simples, par les méthodes données dans ce Chapitre, soit qu'on le considère comine fonction de a, soit qu'on le considère comme fonction de r.

Revenons à 4'(^)- Pour obtenir son expression, développons les deux membres (45) suivant les puissances ascendantes de (?/ — <')• D'après la forme (3o) de F(w, <^), avec m ^^ \ ^ on trouve ainsi les deux premiers termes du développement, en réunissant, dans la série F, les termes qui répondent à deux valeurs de /?, égales et de signes contraires :

''^-■Cv —

CO OJ^-' I — ^2/i I

Les termes correspondants, dans le second membre (45), sont

en sorte que l'on a

Cette fonction entière '}(^), comme on le reconnaît sur cette expression (4^^) o" sm- la formule (45), a la propriété suivante :

'h{v -T- 20/) =: J;(^') -f- It^ '- E(l' 1.

Pour (' = o, la fonction s'évanouit et sa dérivée a une valeur re-