CHAPITRE III. — DISCRIMINANTS NÉGATIFS

Voici maintenant la conclusion :

Quand le discriminant négatif tend vers zéro et que g^ est positif, on a

lim V'12^2'^2 = ~) ( 3o) / lim \/i2ff2 ~ — log(— 12 J . = o,

. — ■îî-^ I

hmJe "^-=— z:r^'

Puis, changeantes en — «3 avec échange de 102 et -^ :

Quand le discriminant négatif tend vers zéro et que gs est négatif, on a

A = o, ^3 < o, J=— 3c, y\ig.i = \f^\l—g^,

Il m V' 12^'2 — r- — ~,

\ lim Lv i2^''2 «2 — log^V 12 J ) J = 0,

I , . , - ■ît — r' I

Dans ces formules, gi est positif, puisque g\ — '^'j g\ est nul; la racine v'12 «o est réelle et positive.

Dégénérescence de pi<.

Cet examendes valeurs limites pour les périodes doit être complété par celui de la valeur limite pour la fonction -pu.

En supposant, comme précédemment, que e^ et e^ convergent vers — «, eo vers 2« >> o, la définition

cly u

donne, à la limite,

dy u

Prenant une nouvelle variable d'intégration ^, posons

y — 2a — ^az-, pu — 20 = 3a Z2;

go PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

nous aurons

u^'ia= I — 2~^^ = arc cot Z,

Cet arc est compris entre o et - si, comme on le suppose dans

la définition par l'intégrale, pu est supérieur à eo et le radical positif. Nous avons donc

pu — 2a = 3a cot- u y 3 a ou encore

3 Cl

siii- u \l'ia

Mettant ce résultat et les précédents sous une forme analogue à celle qui a été employée (Chap. I) pour le cas du discriminant positif, nous avons

«1 = ^3 = — a, e2 = 2a, g^^iia"-, g^ = %a^\

A = ^1 — 27^1=0, ei = ^3= — 1^2 = - ^^;

3,^3 9.^3 I /aOJoV 2 0-

formules de tout point semblables à celles du Chapitre I, oii le discriminant tendait vers zéro par des valeurs positives. A cause de ce fait, il est évident que les formules du même Chapitre, relatives au cas g-i << o, s'appliquent encore ici, sauf échange de 62 et 63.