CHAPITRE lY
PROPRIÉTÉS CO^rMU^ES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES, QUEL QUE SOIT LE SIGNE DU DISCRIMINANT. — MULTIPLICATION. — INVERSION.
Développement de pu suivant les puissances ascendantes de u. — Remarque sur la notation des périodes. — Multiplication de l'argument : multiplication par 2.
— Multiplication par 3. — Multiplication par un nombre entier quelconque. — Calcul delà fonction •y„(u). — La fonction y„ : son calcul par une formule récurrente. — Cas où n est un nombre composé. — Théorème sur la fonction y^.
— Sur les racines de la fonction p"u. — Racines de p" u quand le discriminant est positif. — Racines de p"u quand le discriminant est négatif. — Sur l'équation p' u — c. — Sur une transformation de la quantité — Autre
pu — pv
transformation de ■ • — Inversion des intégrales elliptiques. — Racines
pu — pv
de léquation du quatrième degré. — Caractères de réalité des racines. — Distinction des racines par ordre de grandeur. — Variation simultanée de la variable X et de l'argument u. — Cas où quatre racines sont réelles. — Cas où les quatre racines sont imaginaires. — Cas où deux racines sont réelles et deux imaginaires. — Inversion en quantités réelles. — Autre forme de l'inversion. — Cas où le polynôme est du troisième degré.
Développement de pu suivant les puissances ascendantes de u.
Ce développement ne peut pas être obtenu par la série de Maclaurin, puisque pu est infini pour u =^ o. Nous avons vu, dans le Chapitre précédent {Infinis de pu), tin moyen de trouver le premier terme de ce développement. II consistait à emplover la formule daddition, exprimer p{u — v) par pu et jjc, à supposer dans cette formule u^=^ v -:- z, eik développer, au second membre, le numérateur et le dénominateur suivant les puissances croissantes de z par la formule de Tavlor. On s'est borné au premier terme, mais il est clair que cette méthode permettrait de trouver autant de termes qu'on voudrait. Les calculs seraient fort laborieux.
Cet aperçu montre toutefois qu'il existe, pour p?/, un développement suivant les puissances de u, à exposants entiers et crois-
sants, dont le premier est — 2. Soit (à cause de la parité de pu)
(1) p j^ — i- Cl — Ci U- — C3U* — . . . — c. m2)-2 . . .
ce développement; cherchons les coefficients, par voie de récurrence, en nous fondant sur la propriété
(2) p"'u = \ipu]i'u.
Il résulte de là
p' U — j -f- 2C2M — 4C3M5 !-...— (aX 2)C- j<->--3-4-. . .,
p" u = — r — 2C2 — iiczu-—...^{i\ — 2) (2). — 3)c- Ji-^-*— . . -,
p"'u =— ^ — 24C3M ^...— (,2X — 2)(2X — 3)(2). — 4)Cj ii2)>-S...,
Substituons dans l'égalité envisagée, et égalons terme à terme, dans p'" u et dans ^'2. pu p' u, les coefficients des puissances semblables de u. Les termes en -^ ont même coefficient. L'absence du terme en — dans p" u exige que Ton ait C) = o. Cela étant, le terme
en — manque dans 12 pu p'uj quelque soit Co, et enfin les termes
en u sont égaux quel que soit C3.
On trouve ensuite une formule récurrente entre les coefficients successifs : le terme en u-'^^ a pour coefficient, dansjD'";^,
et, dans 12 pu p' u, 2i[{l — i)cy^^{l — 3)c2c^,-^(X — {)c3c-3^ . . . ^ Vî^s — c^J
= 24 (). — 2) C- -r- 12 (X — 2)(C2 Cy^ -^ C3 Cj 3 — Ci C^^ -h ... — C)jj C,).
D'ailleurs
(2X — 2)(2X — 3)(2X — 4) — 2UX — 2) = 4(X — 2)(X — 3)(2X-^l).
Par conséquent, voici la formule récurrente où )> est expressément supposé supérieur à 3 :
