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On ne manquera pas de remarquer que l'homogénéité est traduite dans ce développement par la forme des coefficients.

Quant à la convergence, il est clair que ce développement ne saurait, par sa forme seule, en faire trouver les limites. Mais le théorème de Gauchy, appliqué à la fonction p u, fait connaître les limites de cette convergence; à savoir : dans le cas du discriminant positif, la condition de convergence est que la valeur ah-

solue ( ' ) de u soit inférieure à la plus petite des deux quantités 2 w ou —^1 et, dans le cas du discriminant négatif, à la plus pe-

tite des trois cjuantites awo, — ^ et 4/ Wj -f- ( -^ ) •

Ces propriétés si cachées, et que nous révèle seulement la connaissance acquise préalablement de la fonction pu, ne peuvent en aucune façon apparaître dans le développement lui-même. C'est pourquoi il ne saurait être question de prendre ce développement pour base d'une généralisation de la fonction pu. Des formes de développement bien différentes serviront à nous faire atteindre ce but. Pour le moment, il suffit de considérer le développement (4) comme on fait dans les éléments du Calcul différentiel; c'est une formule d'approximations successives delà fonction pu, quand u est suffisamment petit.

Ace point de vue, le développement (4) pourrait être envisagé comme permettant d'établir avec facilité une table des transcendantes p u et p' u pour de petites valeurs de u. On passerait ensuite de là à toutes les valeurs de u par les formules d'addition, ou encore par la multiplication de l'argument. C'est cette dernière théorie qui va maintenant nous occuper.

Remarque sur la notation des périodes.

A partir du présent Chapitre, nos raisonnements porteront très souvent, à la fois, sur les deux cas, du discriminant positif ou négatif. Il en sera toujours ainsi quand le contraire ne sera pas mentionné. Dès lors, il y a lieu de s'entendre sur la manière de dénoter les périodes.

La coutume ne permet de renoncer ni à la notation (co, w') que nous avons employée pour les discriminants positifs, ni à la notation (tO|, 0J3), dont nous avons fait usage pour les discriminants négatifs.

Nous conserverons ces deux notations, que nous emploierons, pour ainsi dire, indifféremment dans beaucoup de cas. Il est même utile de les entendre, dès à présent, d'une manière générale. Nous conviendrons donc, toutes les fois que le contraire ne sera pas dit

(') La valeur absolue d'une quantilc imaginaire, c'est ce qu'on appelle communément son module.