CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES ALX FONCTIONS ELLIPTIQUES. QO

expressément, de désigner par oj, oj' et (o"= (o + w', trois demipériodes quelconques, que le discriminant soit positif ou négatif. Et Ton ne devra pas perdre de vue <\n une demi-période est un argument qui rend nulle la fonction p' .

Dans les cas où Ton voudra mettre en évidence les valeurs de p pour chacune des demi-périodes, on emploiera de préférence la notation co, , 033, Wo = W) -i- 0^3, quel que soit le signe du discriminant.

Multiplication de l'argument ; multiplication par 2 ( ' ) .

Puisque p{u -r- »'), ainsi que p' {u H- r), s'exprime en fonction rationnelle de pu, p' u, pv, p\', la conséquence immédiate, relative à la multiplication de l'argument, consiste en ce que, n étant un nombre entier, p(nu) s'exprime en fonction rationnelle de pu et p' u.

C'est la composition de cette fonction rationnelle qu'il s'agit d'étudier.

Pour obtenir jj( 2 w), prenons la formule

I / p' V — p' u\' pu -i- pt-' — p(i< — ^•) = - ' —

En V faisant converger v vers u, nous devons remplacer, au second membre, le rapport qui se présente sous la forme - par le rapport des dérivées. Nous aurons donc

(5) •i.pa-{-p(2u)= -l^) = -i -^ 2j«j\

De là résulte

4P'" — .-^jP?* — a'3

Nous écrirons de préférence cette formule ainsi

— 3 p'* u — I fr-2 p- î< -+- 3 ^3 p « -f- -nr ^

p{2U)~pU

Le polynôme numérateur, changé de signe, est le troisième d'une suite indéfinie que nous allons bientôt connaître; ces poly-

(') Foj/' aussi Chapitres VI et IX.

nômes seront désignés par la notation 'l{u) avec un indice marquant le rang de chacun d'eux.

Posons, dès à présent,

et écrivons, d'après cette notation,

(8) p(2M)-pM=— -j^.

Multiplication par 3.

Passons à j3(3«). Par la formule d'addition

( p II p (' { ^3 ) (p U ^- p (0 ,^3

{pii — pvY

nous obtenons, en faisant v=iu et substituant l'expression de

/ „ , 2 [( ,p2 f/ -- i ^o ) p'2 U — -^-î p U ] ( 9, p U jV2 ?/ — -J;., ) — ,^3 p'* ;t

p{Zu)-^pu= ^ V^ '■

En retranchant ipu aux deux membres, on voit apparaître, au numérateur du second membre, le facteur p'-ii, et il vient

p(3u)—pu= T|— ^

Posant, suivant la même loi,

= p'u{—2p^U-i-iff2p'*U-^lOg3p^U^-lfflp-iU-\-!,ffiff3pU-i-ffl+^S'l),

nous écrirons

(10) p{3u) — pii=—^j~-

Sans aller plus loin dans ces calculs directs, rendons compte de la composition des expressions trouvées pour p(2ii) — pu et p{iu) — pu.

Multiplication par un nombre entier quelconque.

En premier lieu, p(nu), étant exprimable rationnellement par pu et p' u, aura la forme A4- Bp' u, où A et B seront rationnels