CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES ALX FONCTIONS ELLIPTIQUES

en pu. Mais p(nu) esl une fonction paire de ?/, comme pu, tandis que p' u est impaire. Donc le ternie Bj)'« n'existe pas. Donc j)(/?//) est une fonction rationnelle de pu seulement.

En second lieu, si l'on envisage jd(/î m) comme une donnée, et pu comme une inconnue, il y aura pour cette dernière n- valeurs distinctes. En effet, soh p(nu) = pa. Il en résulte

nu = zîz « -r- 2 «Il ciji -i- 2 /;«3 (03 ;

d'où, pour u, les valeurs en nombre infini

(11) U=Z^-- tOi- W3,

nu II

les entiers /??i et /«3 étant arbitraires. Si l'on donne à /?i, et ni :^ toutes les valeurs o, i, 2, ... (/i — i), et qu'on prenne le signe

-1- devant -5 on a ainsi des arguments en nombre ii'-. Pour deux

<[uelconques d'entre eux,

a -2 m y im.,

a lin, lin..

: ■ OJ, ■■

n II II

ni la somme, ni la différence n'est une période : la somme, à

cause de la présence de — ? qui est indéterminé; la différence, à

cause de ce fait que (/;^| — ni\) et (m^ — 7?z'.,) ne sont pas nuls tous deux, et qu'aucun d'eux, s'il n'est pas nul, n'est multiple de n, les quatre nombres m étant moindres que n.

Tout autre argument U, déterminé par la formule générale (i 1), donne lieu à la même détermination de pU que l'un des arguments u précédents. En effet, si d'abord on prend

on peut trouver /;«) et ni.^, compris entre zéro el (u — i), de lell< sorte que M, -f- my et IM3 ■+- m.^ soient tous deux divisibles par u. Cela étant, U -f- « est une période. Donc j)L = pu. Si, en second lieu, on suppose

V —-i : tO, H

on peut aussi trouver /;?, et m-^, compris entre zéro et (n — 1), de telle sorte que M, — /72, etMs — nis soient tous deux divisibles par n. Alors U — u est une période. Donc p\] = pu.

11 est donc prouvé que, p(nu) étant donnée, pu a n- valeurs distinctes, précisément.

La quantité p(nu) est une fonction rationnelle en pu, —^ — -•

Soit p{nu) = [JL, donnée arbitraire. Il est établi que l'équation F(x) — u.^(x) = o a /i- racines distinctes (réelles ou imaginaires). Aucune de ces racines n'est multiple, [x étant indéterminé. Au cas contraire, en effet, une telle racine appartiendrait à l'équation délivée et, par suite, annulerait F$' — OF' et serait indépendante de [x. Elle devrait donc annuler F et <î», et la fraction F : <t> ne serait pas irréductible. Donc F(x) — a^^x) est du degré n'-.

Dans les deux exemples calculés (/i = 2 et /ï = 3), on a trouvé effectivement un numérateur F du degré n^ ; le dénominateur était de degré moindre ; en outre, ce dénominateur, dans le cas n = 2, élah p'- W, dans le cas n = 3, c'était le carré d'un polynôme du troisième degré. Ces circonstances s'expliquent aisément.

Si l'on suppose u infiniment petit, pu et p(nu) sont infiniment grands, tous deux du second ordre. Donc F : <ï> est infini du même ordre que pu ; donc le degré de 4* est inférieur d'une unité à celui de F.

Les racines de <ï>(.r) correspondent aux autres infinis de p[nu); ce sont les valeurs de u égales à un des arguments v suivants

n II

ce sont les /i"'"'^^ parties de périodes. Quand u est infiniment voisin de <,',pinu) est infiniment grand du second ordre. Donc <I>(pw) est infiniment petit du second ordre. Comme •I>(pr) est nul, la partie principale de $(p«) serait {u — v)^'{pv)p' v, si ^[pu) devait être du premier ordre. Mais, puisque 4>(jdw) est du second ordre, il faut que ^'{pv)p' v soit nul. Le second facteur p v est nul si V est une demi-période. Dans le cas où n est un nombre pair, cette circonstance se présente en effet, si l'on prend pour m, clm-i les nombres zéro ou^/i; et<I> contient alors le facteur jj'-«. Quant

aux racines de — r, — ? en ce cas, ou aux racines de ^v{ p«) dans