CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES
le cas où n est impair, elles laissent p' v différent de zéro. Donc
<t>'{pv) est nul, et ces racines sont doubles. Donc, si ii est pair, le
dénominateur $ est le produit de p'-u par le carré d'un polynôme
entier en pu; si n est impair, $ est un tel carré.
On a vu tout à l'heure que ^{pu) est du degré n- — i. Si n
est pair, la racine carrée de -— — est alors du de°:re -: si n est
impair, la racine carrée de <ï> est du degré
Achevons de préciser ce polynôme, racine carrée de — ; — ou de
<I>, en y fixant le coefficient de la plus haute puissance de pu, comme il suit :
si ft est pair, * = p'-a|^ — \n{pu) - — ...J ^
SI n est impair, ^ = \^n{pu) - — ■••J-
Appelons '}«(;^) la racine carrée de <I>, ainsi déterminée :
\ «pair, <ln{u) =p'iil—\n{pu) ^ —...],
I /i impair, <l,i(ii ) -^ \^n(pu) 2 — ...J.
Le choix, du premier coefficient a pour effet, comme on voit, d'attribuer, dans les deux cas, à 'l,i(u), quand u est infiniment
petit, la partie principale ^^, ^ •
Voici donc établie l'existence et connue la nature d'une fonction à,i(u) dont les racines u sont les n'""'"^ parties de périodes.
Si maintenant nous envisageons, au lieu de p(nu), la différence p{nu) — pu, qm a, comme pÇnu), le dénominateur 'll(^u), la composition du numérateur apparaît immédiatement. Effectivement, pour que p(nu) — pu soit nul, il faut et il suffit qu'on ait
nu ^^ ±: it -i- 2/??i W] — 2 /«s 103, c'est-à-dire l'un ou l'autre des deux cas
Wi
ini n —
2Ws
Los racines du numérateur correspondent donc aux {n -{- i)"""^» el
lOO PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
aux (/z — i)'^"" parties de périodes. Si n est un nombre pair, (/2 + i) et (/i — i) sont premiers entre eux, et ces deux groupes de racines n'ont aucun terme commun. Donc le numérateur doit se composer du produit '\,i+\ ('O'}"-' (")• ^^ '^ est un nombre impair, les demi-périodes appartiennent à la fois aux deux groupes; mais alors la dérivée de p{nii) — pu s'évanouit quand a est une demi-période, et chacune de ces racines est double. Donc encore le numérateur contient le facteur 'l)n^i{ii) 'l>,i^(u). Dans le premier cas, '^n+t et 4*"-' so'^t tous deux des polynômes entiers en pu; leurs
degrés sont et ■ > dont Ja somme lait n-. Dans
le second cas, chacun d'eux contient le facteur p'u. et le produit est encore un polynôme entier en pu, ayant pour degré
Gomme n- est précisément le degré que doit avoir le numérateur, on voit que ce numérateur est •l„^i(u) 'ii,i i(u), sauf un facteur constant.
En dernier lieu, ce facteur constant nous sera connu parThypothèse : u injin!?nent petit. La partie principale de jd(/?;/) —jd« est
(;72 — ') ,'2- Celle de 'Yi{u) est ^^,",,)^ celle de -]>„+, (^/) •},^, («)
H— I n — 1 n- — I r .. ••11 '^^;-^i '-î^v-i est -7— - -,,.— r =: — ^-' La partie principale de - — r-; est
donc — „ T ^ — \ ^~« — ^ I ) — • Donc le coefficient est égal à
— I, et l'on a généralement
-j-ziC";
Calcul de la fonction '\fn{u)-
Pour avoir entièrement épuisé la question, il reste maintenant à calculer la seule fonction 'lui^u), dont nous connaissons déjà l'expression jusqu'à n = 4-
Dans la formule d'addition déjà employée pour calcidcr j3(3//), savoir
1 ( p II p V — Y ,^2^ ( p u — p (■> — ,?•■,
{pu — pvf^
