CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. lût

remplaçons u par mu et v par nu. Supposons mainlenant qu'on mette pour les fonctions leurs expressions en pu^ alors le premier membre a pour dénominateur '},");+„ '}^„,i- Quant au second membre, son dénominateur est {'^m+\ '}w-i '}« — '}«+( '}«-i '}?«)"• H doit donc y avoir proportionnalité entre ces deux polynômes, dont, nous allons le reconnaître, les degrés coïncident. Cependant, pour pouvoir l'affirmer ainsi, il faudrait examiner avec soin s'il n'existe pas de réduction dans les deux termes de la fraction. Nous éviterons cet examen en comparant directement les deux fonctions

V/7!-i-« Vot— « et V/«+i Vw-i Vrt — V/i+i V"-i V'"'

Ce sont d'abord deux polvnômes entiers en pu. En effet, pour le premier, (m + n) et [m — n) sont de la même parité; pour le second, 711 -\-i^ m — I sont de même parité, ainsi que (/i H- i) et {n — i) ; par conséquent, p'u ne figure ici qu'au carré et disparaît. En second lieu, le terme du plus haut degré est, pour le premier, {m- — /«-) (jj ;/)'"'+"'"' . Le terme correspondant est

Pour ^,n^,'h,n-i'h\ (»i-— 0 n2(p «)'«'+"'-',

et, pour le second polynôme, (/n- — /i-) (jdî/ )"'■+"'"' comme pour le premier. Il suffit mainlenant de reconnaître que ces deux polvnômes ont les mêmes racines pour reconnaître leur égalité. Or le premier s'évanouit quand (m zir n)u est une période. Quand il en est ainsi, on a nu ^ it mu (') et par conséquent 'i>^^ = 'h'„t ', on a, de plus, '}«+i = 'im+\ et ^,/i = '\rn-\ si nu ^ mu; si, au contraire, on a nu ^ — inu^ il en résulte '}«) = '},«+i, ^«+i = '}///-)• Donc le second polvnôme a toutes les racines du premier.

Si m et n sont impairs, les demi-périodes appartiennent aux deux groupes à la fois; mais il y correspond des racines simples pour le polynôme en pu. D'autres racines, appartenant aux deux groupes à la fois, existent si (m -f- n) et (m — n) ont un facteur commun, c'est-à-dire si m et n sontmultiplesd'un même nombre v : une telle racine correspond à une v' '"^ partie de période. Elle est double dans le premier polynôme, mais elle l'est aussi dans te second^ car -L^^^ et -1)^ sont tous deux divisibles par 'l:,.

(') Cette nolalion a ;= b, empruntùc à rArilliinélique, et qui s'énonce a congru ou équivalent à ù, exprime l'égalité à des périodes près.

Le second polynôme ayant touLes les racines du premier, ayant pour racines doubles celles qui sont doubles pour le premier, ayant le même degré et le même premier terme, coïncide avec lui. On a donc cette égalité

Soit, dans cette égalité, m = « + i, et nous aurons, à cause de <]>) = I,

(i6) '\'î,i+i = '\'n+i'\'fi — <l>/i-i 4^,^4-1 ;

changeons m en /z + i et /i en ji — i, et nous aurons, à cause de '}^., = — p'n,

Nous avons par (16) et (ly ) deux formules récurrentes extrêmement simples pour le calcul successif des fonctions 'In ; elles peuvent servir à partir de «L5. Ainsi la première, avec fi = 2, donne

La seconde, avec ji = 3, donne

où il faut se rappeler que -~ est un polynôme entier en pu donné

précédemment. Les autres fonctions 'l,i se calculent successivement sans difficulté.

La fonction -(n : son calcul par une formule récurrente.

On peut condenser le calcul en substituant aux fonctions -!/„ certaines combinaisons qui, d'ailleurs, interviennent naturellement dans plusieurs applications. Posons

on a ainsi y, 1=1, y, = i . La formule (i5) s'applique aussi à y comme à t{/,