CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. I

et, par conséquent, on a aussi

Si l'on fait maintenant on aura successivement

Te ^^Hy — ^—y-),

(21) { Y8 =y[{y — x){ix—y)~Ty^],

I T9 = ^' [jMj — ^ —7") — (j — ^)"], [ T'O = {y — x) [y^ixj — x'-—j^ ) — xiy — X —y'^y-], . Tii = {^y — 3:^-—y^)(y — ^y — xyiy—x—y'-y.

Généralement, si n n'est pas divisible par 3, "« est un polv-

nôme entier en x, y; si n est divisible par 3, "«est le produit de

x'^ par un tel polynôme. C'est ce qu'on voit par les formules ré-

currentes, d'après lesquelles y,, est entier en x'^ et )-, et d'après la

forme (i8) de -'„, qui est ou rationnelle si n est premier avec 3, ou

rationnelle, sauf le facteur '^:', si n est divisible par 3.

La considération de y,, fait, en dernière analyse, disparaître entièrement les fonctions elliptiques, et l'on a le résultat suivant:

Avec les valeurs initiales y, = ":>= i , ys = x\ y^ =j', si l'on

calcule par les formules (20) une suite indéfinie de fonctions v,, :

1° ces fonctions sont des polynômes entiers en x et j-, sauf le

facteur x^ quand n est divisible par 3 ; 2° si /ï est divisible par v,

y^ est divisible paryv^ 3° elles satisfont à la formule (19).

Il y a même des formules plus générales que (19) et qui s'en peuvent déduire tant pour les fonctions 'i>,^ que pour v,,.

On peut écrire cette égalité (19) sous cette forme

"(ni-^n '( m—n '{m-hl '( m—l '(n+l Yra— I \I __ IV

Y'» Ta Ywî Y»

Les quantités M et N contiennent : la première, le seul nombre 1» ;

la seconde, le seul nombre n. Si donc on considère une suite d'indices /», /?, /?, q, ..., il y aura, entre les fonctions, telles que

' "T" ■! "'~" 3^cc ces divers indices, des relations correspondant aux

'(7n y ri

identités entre les différences composées avec M, N, P, Q, . . .. Par exemple, avec trois indices, l'identité

donne la relation

dont (19) est le cas particulier p = i. Avec quatre indices, l'identité

donne la relation

) "[m+n'i'm-n'ip+r/^p-ij

~T~ '(/1+p y n—p y iii+q '( iii-q ~!~ y p+m "[ p—m "^(n+q^n—q — 0>

dont la précédente (22) est le cas particulier q ^ o. L'identité

(M — N) ^- (N — P)-(- (P — Q) -t- ( Q — M) = o donne aussi

iM)

Î^m+n "(in—n "^p Yy -+" '(n-p "{n+p "{'/ "( /ii ■~f~ Y/'-? ^P+l Y/« Y'I "^ 'l'I-'n '[q+m "(n Yp ^^ ^'

Cette dernière peut se déduire d'ailleurs de (22).

Cas où n est un nombre composé.

Ces formules fournissent divers moyens d'abréger le calcul quand on veut parvenir à une fonction y d'indice donné sans passer par toutes les précédentes. Par exemple, si l'indice est composé de plusieurs facteurs, on peut mettre facilement en évidence les facteurs correspondants de y. En supposant dans (22) /;? = aa, /} = by., p ^ boL — (a + ^)i^5 on aura

yia-b)0L "({a-^bxx »

('X ^a-hO [%

Y(a+6)(a-p) /y/,:iY yia+h)^ /Y«ot\^

— - ) '{ia-/j)ix+la+b)^ I — — ) Y2^a-(a+i)|3-

-(a+b \ '(a. / "ia-i-b

CnAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMl-NES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. lOa

Par exemple

X [Cj' — •^) (2 -r — J»') — ry^ {y — x —y'-f-

Ti5 = x'^(j — x)\ [y-(Ty— x^-—y^)— x{y — x — j^)^]

tandis que la formule (20) donne, sans mettre en évidence le facteur [y — x),

Ylô = -r^ ! {^y - .r2 - J'3)3 [y^y — .r ~ y'-) - (y - xY]

— 0' — ^ — J'- ) [O' — ■r)(-i.x —y) — xy^-\^y^ j.

Théorème sur la fonction -;„.

Il y a manifestement un autre movcn de calculer les fonctions d'indice composé; car, pour obtenir p(nmu), on peut employer la multiplication par n, appliquée à l'argument mu. Il résu-Ue de là une relation entre •l„[mu) et 'lmn{it)- Afin d'obtenir explicitement cette relation, observons d'abord que '^„(//^^/), exprimé en fonction de pu., exige, pour être ramené à la forme entière, d'être multiplié par 'i/^( m )"■"*. Le polynôme ainsi obtenu a pour racines les fonctions p des nm^"""^^ parties des périodes; mais les m""'^^ parties de périodes sont par là éliminées. Le produit ne donne donc pas •l„in{u), mais cette fonction débarrassée du facteur 'l„i(a). En restituant ce facteur et comparant les termes du plus haut degré de part et d'autre, on obtient la relation

( 25 ) '!/,„„( Il ) = •ln{mil ) 'lm{it )"-.

Mais la considération des fonctions •' permet de conclure plus nettement encore.

Le caractère commun aux formules (22), (23^, (24) et à toutes les analogues consiste en une double homogénéité. Il y a d'abord homogénéité par rapport aux fonctions y, puis homogénéité par rapport aux carrés des indices; car, dans une même formule, le nombre des fonctions v et la somme des carrés des indices ne varient pas d'un terme à l'autre. Les formules subsistent donc si l'on y remplace les fonctions par des combinaisons présentant ces mêmes homogénéités.

106 PRUMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Formons la combinaison

C26) o,j = -iiurip'^ '{ip ^ ,

qui est du degré zéro pour l'une et l'autre des deux homogénéités. Considérons les deux cas particuliers 03 et O4, et posons

Remarquons, en outre, que l'on a 0,^00=1. Dans la formule (22), par exemple, supposons remplacés m et fi par lup et np, et mettons les ô au lieu des fonctions y. La formule subsiste et devient

''■'in + n '^in-n • ^n-l '^n+\ ''^m — ^«z-l 0//Z-I-1 ^h — O;

en tout semblable à la formule (19), sauf changement des lettres. D'ailleurs, les valeurs initiales sont les mêmes pour les 0 que pour les v. Donc :

Si, dans V expression de y« par x et y, on remplace x et y par ^ et r, , savoir

/o-i t — ' il' il' ^ — i^P ip

lip liP

cette expression se change en celle d^

On remarquera les expressions de ^, '/], ô„ en fonction des 'i/, savoir

3 j, ^^ 3 ,1, 3 ï Vspyp Y'*pWp .

0,1 — 'Ji'np'T'p Va/) ) Z — — p ' ^ — ^p

W-2P r-ip

elles ne diffèrent des précédentes (26) et (2^) que par le changement des lettres.

Sur les racines de la fonction p"u.

D'après l'expression de p" n

on voit que les valeurs de pu, correspondant aux racines de p" u, sont

^ 1 1 /^ aV 3