CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. J

L'élude de ces racines et de plusieurs questions connexes cstulilc pour les applications; nous allons la faire. Le lecteur désireux de connaître d'abord la théorie générale pourra, dans le Chapitre actuel, laisser provisoirement de côté tout ce qui va suivre.

Racines de p"u quand le discriminant est positif (i).

D'après A = ,1^ i! — 2~gl'>o, on voit que g^ est positif; les deux valeurs de pu sont réelles ; posons

Il en résulte

Le produit de (j3'('o)- et de (p't'i)- étant négatif, il s'ensuit que (jj'c,)- est positif, (pVo)- négatif; donc p'c, est réel et p'vo purement imaginaire. Mais pr, est négatif et pVo positif. Donc p^'^ est dans l'intervalle (^3, Co) et pvo dans l'intervalle (co, e,); p, est de la forme a -h o/, a étant réel, et Vq de la forme iy. + w, a étant aussi réel, le tout, bien entendu, à des périodes près.

D'après le théorème d'addition (I, 20), on a

p'u — p'%u ^ j.^ p'{u^z) — p'u ^ p^^ ^^ pu — piu £ = 0 p{u^z) — pu p'ii

Si l'on y suppose u = ^0 ou ^ ^"1, le dernier membre étant nul, on aura

p'2Vo = — p'^0, P''2'Vi= — p'Vl.

Cette propriété nous conduit à examiner de plus près la duplication de ces arguments particuliers. Pour calculer par, au lieu de recourir à la formule générale, ce qui n'offrirait d'ailleurs aucune difficulté, prenons cette même égalité (29) dont les numéra-

(') Dans ce paragraphe el les suivants, où la dislinclion est faite entre les deux signes du discriminant, la notation des périodes est celle des Chap. I, II, III.

Ainsi, pour A >• o, m et —r sont réels; pour A -< o, u, et — ^sont réels. i i

leurs, aux deux membres, deviennent nuls quand u converge vers «•„ ou vers V\. Il v a donc, à ces limites, égalité entre les deux membres, si l'on remplace les numérateurs parleurs dérivées

p'V -i- 2 vi" 1 V n"'i'

et, puisque p"v^o, on obtient, en mettant, au lieu de ajj"2r,

lip-ÏV — ^2 = ' 2 Jl - (' I 2 p l' p 2 (',

mais

on peut donc écrire

O = 12 p^2(^ -H lipV.])1V — 24 p-^' = I2(p2P -\- 2 pr)(P2'' — P'')-

Le dernier facteur n'étant pas nul, il s'ensuit

p 2Po = — 2 p l'o = ~ 1/ y '

Nous pouvons maintenant préciser Tq et c,.

Ayant Vi =: a + co', avec a réel, nous concluons de ce qui précède

Le signe de p\\ est arbitraire; prenons-le positif; alors p'-ict est négatif, et 2a peut être choisi moindre que co. Ainsi, en prenant jj't', > o, on aura Cj = a + w' «cet « ree^ et moindre que T,M. Bien entendu, il y a, pour l'équation p" u = o, la seconde racine ;/ = — ('1, le tout à des périodes près.

De même, (\)= ia -t- to donne

(3i) p2Ja = -t/y: P'ai^t^ -J>'''o = — îV/yl/y +^3-

D'où la conclusion analogue : en prenant - p' v^ > o, on aura ('0 = « a -f- (j, avec a /'c^^/ et moindre que -r •