CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. J 09 t

Racines de p"i(, quand le discriminant est négatif.

Les calculs précédents s'appliquent encore, mais les conclusions sont différentes.

En premier lieu, au cas «■o<^o, v^elv, sont des imaginaires conjuguées.

Au cas ^-i^u, le produit ( p't'o j)'<',)-, étant égal à — tjA, est positif; les deux facteurs ont donc un même signe. Il est manifeste que ce signe est contraire à celui de ^3.

Supposons g--2 >■ o, g3<i o. En ce cas, ^o et r, sont, tous deux, réels. Nous pouvons prendre Vq et v^ entre zéro et W2 ; alors p'r„ elp'v^ sont négatifs, elp'2Vo, ,p''-ir, sont positifs : donc 2^0, ar, sont supérieurs à 0)2. On a donc

I CO2 < (-'o < Vi < t02.

Nous pouvons encore préciser en considérant la fonction '-|>:j(//) pour les deux arguments Vq et Vf. D'après la relation

piu ~ pu =— -^— ,

jointe à p2V = — 2j)t^, nous concluons

Comme jd'-^^o et J^'"'") sont de même signe, et pi'o> P^'i désignes opposés, on voit que '}3(") change de signe quand a croît de <'o à

f|. Les racines réelles de ']>:$(«) sont de la forme — ^— =• La racine -^^ se trouve donc dans l'intervalle Cq, t'i :

Supposons maintenant

ff-2 > O, gi > O.

On passe du cas précédent à celui-ci par l'échange de u en iu \ los conclusions sont donc les suivantes : Les racines Vq et V\ sont purement imaginaires, et on peut les prendre ainsi

I w', ^ Pn ^ 2 w^ ^ t^i ^ w^ ■i. i t ^ 3 i ^ i ^ i

no PREMIÈUE PARTIE. — THÉORIE.

Sur l'équation p' u = c.

Cette équation joue un rôle dans diverses applications; nous allons étudier ses racines. Les valeurs de pu sont fournies par l'équation

dont le discriminant est gl ■ — 27(^-3+0-)-. Si ce discriminant est positif, les trois valeurs de pu sont réelles; s'il est négatif, une seule est réelle. Examinons les divers cas en distinguant suivant le signe de A.

Soit d'abord

I" Supposons (33) ^i-27(A'3-c2)2<o.

La constante c est supposée réelle, en sorte que c- ne peut être

~TV ¥~*'J' ^^^ ^^^ négatif, connu dans l'avant-dernier paragraphe. La condition (33) se change donc uniquement en celle-ci

inférieur à

comme on 1 a re-

Cet argument r, est la racine de p" u , pour laquelle pu est compris entre e^, Cs ; par conséquent (p't'i)" est le maximum de (p' u)- dans cet intervalle; puisque c est supérieur à ce maximum, l'unique racine réelle pu^ de (Sa) est extérieure à cet intervalle et, p'uq = c étant réel, puo est supérieur à ei. Nous avons donc une racine réelle Uq (à des périodes près), et deux racines imaginaires conjuguées w,, u^-

Quand pu croît depuis Ci jusqu'à H- 00 , p'u croît toujours, puisque p" u ne s'annule pas. En considérant la partie réelle (t dp v,(r, =: « + o)'), nous avons ici, d'après (3o),

Donc zr. Uo (suivant le signe de c) est moindre que 2«. La somme des trois racines Uo, U{, u-y fait une période, comme il r-ésulte de la proposition générale (I, aj).

CHAPITllE IV. — l'UOPRIÉTÉS CO.MMUXES AUX FOXCTIONS ELLII'TIQL'ES. I I I

Comme Ui et //o doivent être imaginaires conjuguées, et que hi somme i^o+ ^h + ''2 tloit faire une période, on est assuré que la