partie réelle, commune à 11, et «., doit cire, ou bien ", ou bien

A cause de la continuité, on peut voir lequel des deux cas a lieu en supposant c- infiniment voisin dep'-(2a). Quand il en est ainsi, les deux racines iif et u^ sont infiniment peu différentes. Si c est négatif, c est infiniment voisin de p'art, u^ de 2rt. A cause delà relation (3o)

on voit que Uf et Wo sont infiniment voisins de — p, = — ■ a -\- to'.

Donc, quand c est négatif, «/, et i/^ ont la forme " ± iz.

Si, au contraire, c est positif, Uq est infiniment voisin, non pas de 2rt, mais de — aa, et la conclusion est la même. Voici donc la conclusion pour ce cas : Le discriminant étant positif, quand on a

^^>fi/f

r équation p' u = c admet : 1" une racine réelle ?/„ (à des périodes près), cjui, étant prise entre — oj et + oj, est, en valeur absolue, moindre que -2 a (3o); 2^ deux racines imaginaires conjuguées, de la forme — |i<o — iz. Ces deux dernières coïncident ( à la période ato' près) entre elles, et avec dz Cj (38) quanfl l'inégalité (34) se change en égalité. En ce cas, z devient égal

, to'

2" Supposons, au contraire, le discriminant étant encore ]K)sitif,

(35) ^^<yi/y-^-

D'après l'allure de la fonction Jj'-ti, rappelée tout à l'heure, il est manifeste que deux racines de (32) sont entre e-i et Co, et une l'roisiènie supérieure à e^. Donc, dcuis le cas de l'inégalité (35), l'équation p' u ^= c admet une racine réelle Uo, qui, étant prise entre — co et + co, est, en valeur absolue, supérieure à "2 a;

:i" deux racines ;/, = to'-i- .-,, ;/2=c.y+::o, où ^, et z^ sont réels.

On peut ajouter que z■^ et z-i ont pour somme — Uo, comprennent entre elles =b a (suivant le signe de c) et deviennent égales à ::z a ^ — r, Uq, quand l'inégalité (35) se change en égalité.

Soil, maintenant,

1" o2<C o. La quantité g't — 27(^-3 + c-)- est toujours négative. L' équation p' u = c admet une racine réelle Uq et deux imaginaires, de la forme — ~-r i^- H n'y & P^s lieu de distinguer ici

entre cette lorme — — — i :■ el cette autre — - -r- w^ — • iz: car i. 1 '

too -t- Wo est une période, et l'une des formes coïncide avec l'autre

par le changement de ;, puisque to'^ est purement imaginaire.

i° o'o >> o, g^ >- o. En ce cas, p"u ne s'annule pour aucune

\aleur réelle de pu. Donc p'u croît constamment quand pu varie

de eo à -h ce . Il ne saurait donc exister qu'une seule racine réelle

pu de l'équation (Sa). Effectivement, g^ étant positif, la condition

gl — 27(0-2 4- c-)- >> o est incompatible avec A ^ o. Donc, en ce

cas encore, V équation p'u = c admet une racine réelle Uq et

deux imaginaires de la forme ^ iz.

3" ^2 > o? 0^3 <^ O- ^n ce cas, Jj"«, comme on Ta vu. devient nul pour deux valeurs de pu qui répondent à des arguments réels t'o? ^1 (^0 <! ^'i)- Quand pu croît de Co à -|- ce , p'-u croît de zéro à p'-Pi, puis décroit jusqu'à p'-t'o? et croît ensuite jusqu'à + oc . Si donc c- est compris entre j)'-t'o et p'-t'i, il v a trois racines réelles u. Si, au contraire, c- est moindre que p'-t'o ou plus grantl quep'-Pi, il n'y a qu'une seule racine pu réelle pour (3^); elle est supérieure à pv^ dans le premier cas, inférieure à pvx dans le second. Voici donc les conclusions :

Si Von a g\ — 27(0-3-1- c-)->>o, V équation p'u=^c admet trois racines réelles. Prises entre — 0J2 et + ojo, ces trois racines sont, en valeur absolue, séparées par r, et Tq ; la plus grande, en valeur absolue, est moindre que 2(102 — ^0)5 l(f plus petite est supérieure à 2(0)2 — ^'1 )? toujours en valeur absolue.