CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUXES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. I l

Si, au contraire, on a ^^ — "^yiffs ~^ ^'Y' "^ °' "^^ seule racine Uq est réelle. Prise entre — coo et — coo, elle est, en valeur absolue, ou supérieure à 2(tL)o — t'o), ou inférieure à 2(t02 — r,).

Le premier cas a lieu pour c- <C — ^ l ^^^ — ©3 ! ^^ second,

pour c- ^ ^ 4 / ^ — ^'3. Les deux autres racines ont la forme

Nous renconlrerons, dans une application, l'équalion jy?^ = /<?, où c sera réel. La discussion n'exige aucune nouvelle recherche. Il suffit de changer, dans tout ce qui vient d'être dit, ^3 en — g^ et de multiplier les arguments par i.

Sur une transformation de la quantité - — — •

Supposons que v soit une racine de l'équation pu = c. La somme des trois racines fait une période; on peut donc prendre pour deux des autres racines

Uq= '- Z, "1 = — Z'

On a ainsi un argument unique z,

pour lequel nous allons calculer l'expression de la fonction pz. En vertu des deux relations supposées

on aura par le théorème d'addition et de deux manières, d'après (36), la quantité j):;.

P«.-Pj

Il4 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Après suppression du facteur (pu — pv), V cquailion p''-u = p'- i', où l'on exprime les deux fonctions j3' par les fonctions p, se réduit à une équation du second degré

x^ — ax —a- — = o, a" = DM, a = pt',

dont les deux racines sont ^^ = j3Wq, x^^pu^. En ajoutant membre à membre les deux égalités (37), nous aurons pz en fonction symétrique de ces deux racines

, a"o — ari — 2 p z — 2 p - = - ^ i— j— - \x\ — x\— ib {Xq — x,) ^-xh-

\ oici les expressions des fonctions symétriques :

x\-^x\=^a''- — 2 ( a- — ^)' Xq—X'^^^ — a.

Quant au premier facteur du second membre, dans (,38), on le trouve sous une forme très simple en retranchant, membre à membre, les équations (37), qui donnent

4 ( Xo — 6 )2 ( a;. — b)- ib — a v

On obtient finalement

^2-^2ppp- — 2p2-

2(pP^2p^

et cette formule fournit la solution de l'équation pi \t j = jj'f,

qui a deux racines t égales à ± :?, et, en outre, la racine l^r, le tout, bien entendu, à des périodes près.

Au moyen de cet argument ;;, qui dépend de c suivant la relation (39), nous allons parvenir maintenant à la transformation de l'expression

p'm — pV

p«— pi^