CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. I

OÙ II désigne un argument quelconque, comme v. Au lieu de //, prenons un autre augument t en posant

Remarquons maintenant que, d'après le théorème d'addition

(I, 25), les trois arguments v, i t\, i l\ a\ant une

somme nulle, on a

On voit donc que j' est une fonction paire de t. Si l'on développait j3( — --H/) etjj'f — ; — 'r tj d'après les formules d'addition,

on obtiendrait pour y une fraction dont le numérateur, ainsi que le dénominateur, aurait la forme A + BpV, A et B étant fonctions entières de J3^; mais, puisque j' est une fonction paire de ?, les termes Bp7 doivent manquer, et la fraction ne contiendra que pt.

Nous allons maintenant écrire cette fraction sans calcul en cherchant les racines de son numérateur et de son dénominateur.

Dans la première forme (4o) àe y, on reconnaît que r ne devient infini que pour u ^^ o el ii = — c, le tout à des périodes près, et nul pour u = n'a et a = «(. D'après (4i)> les infinis de )■ sont

donc ^ = in - et les zéros t = dz z-. Le numérateur n'a donc pas

d'autre racine que jjc, et le dénominateur pas d'autre racine que p-; par conséquent, on a

pt — p^

Pi-P-

avec un coefficient C indépendant de l, qu'il f;iut encore déterminer. Pour ce but, on fera < = o, ce qui rend pi infini et r('duit ) à C. D'autre part, l'égalité (42) fournit l'expression dejen ce

Il6 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

cas, et nous avons finalement

"?. pt — pz

P^-P- Pt-P-

Le premier facteur au second membre peut s'écrire sous une autre forme déjà employée (29). Employant cette forme et remettant u au lieu de t, nous pouvons écrire la formule

OÙ pz a l'expression (Sp). On observera que cette formule (44) elle-même fournit d'autres expressions de pz, dont plusieurs sont remarquables (*). Par exemple, en supposant u infiniment petit et prenant la partie principale aux deux membres, on obtient

p^-pI-

On peut généraliser la formule (44) d ajoutant -a y une quantité c indépendante de u. Alors (r -4- c) se change en une fraction

du premier degré par rapport à p{u^r--\- Observant ensuite

que, pour u = o, la partie principale de (y + c) est la même que celle de j', on a la formule