CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUNES AUX FONCTIONS ELLIPTIQUES. 1 I

dans laquelle «désigne un argument qui, mis à la place de (ii-\--U rend nul le premier membre.

Ces transformations, fondées sur la considération des racines et dont nous avons déjà fait usage pour la multiplication, seront développées d'une manière générale dans le Chapitre VII.

Autre transformation de

pii — pv

pu — pv Considérons la fonction

JKl = 2 (p « — p P )[ J3( a -r- P) — p l^],

oiî II est envisagé comme variable. Le premier facteur est infini du second ordre pour u = o, mais le second facteur est alors infiniment petit du premier ordre; de môme le second est infini du second ordre, mais le premier infiniment petit du premier ordre pour 11 = — f, en sorte quej^i devient infiniment grand du premier ordre pour ^^ ^ o et pour ii = — ç. En outre, j', devient nul pour M =: r et pour u= — 2V. Si l'on fait la substitution (4 1), J'j prend la forme

C'est donc une fonction paire de t, par conséquent une fonction rationnelle de pt seulement-, elle devient nulle pour

et infinie pour

La fraction est donc du premier degré. Elle n'est pas de la forme (46), mais en diff'ère seulement par un facteur indépendant de u, que l'on aperçoit immédiatement par la considération de la partie principale de Vt pour u infiniment petit. Cette partie

principale est —- — ? au lieu de comme dans la fonction (46)-

On a donc, au lieu de l'égalité (4^),

-Pt'',,„ ' ^ c = i{pu — pv)\p{a -k- v) — pit\

p II p V

Il8 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

eL il reste à connaître c, quantité indépendante de u. Il suffit, pour trouver c, de faire u = f , hypothèse qui doit rendre nul le premier membre. D'ailleurs

par conséquent c = j/p, et voici la formule que nous voulions obtenir :

On peut facilement la vérifier par un calcul direct au moyen de la formule d'addition.

Inversion des intégrales elliptiques.

SoitX un polynôme du quatrième degré par rapport à une variable X. Le problème que nous allons traiter consiste à exprimer à la fois \/X et x sans ambiguïté par des fonctions elliptiques d'un même argument u. On verra plus loin pour quelle raison ce problème porte le nom placé en titre de ce paragraphe.

Considérons, comme précédemment (4o), la fonction

r>'u — pV

^^ ' -^ pu — pv

La formule d'addition

i/p'm— pV\2 p u -^ \)V -^ p(u + v) — )

peut être écrite ainsi

(48a) y^.— Zpv^ [v{u-^^')-Vv] + {pu~pv),

et la formule (47) de cette manière

(486) p"v — iyp'v = -i.{p{u-{-v) — pv]{pu — pv).

De là on tire l'expression du carré [p(?^ -h r) — j3«]- sous la forme d'un polynôme Y du quatrième degré en r,

(4y) Y = (72 3pi^)2+2(27pV — pV) = {p{u^v) — pu)\K

Nous avons de la sorte une variable y et la racine carrée d'un po-