CHAPITRE I

FONCTIONS ELLIPTIQUES A DISCRIMINANT POSITir AVEC UN ARGUMENT r.ÉEL.

AinpIilu'Ic. — Modules. — I><''fiiiilion de K. — l''(inrlii)iis elliptiques; ;n'giimenl. — Périodicilé. — Arguuieul 4-1^- — Addiliun de la deuii-périDtic. — Dérivées. — Dégénérescence des t'onclions cllipli(]ues. — Addition des arguments : théorème de Jacobi. — Digression sur les polygones de Poncelct. — Construction pour l'addition des arguments. — Formules d'addition. — La fonction ji «/. Sa délinilion détiuitc de celle de snu. — Invariants g,, g,; discriminant A. — Les racines e,, e,, e,. — La période jw. — Dérivées de yiu. — Dégénérescence de ,p». — Homogénéité. — Addition des ars;umenls.

Amplitude.

Soient un ccfcle et un point C, inléiicur à ce (crclc. l\ii- le point C on mène des cordes du cercle et, sur chacinu; d'elles, on porte, à partir du point C, de part et d'autre de ce point, une longueur inversement |)roportionnelle à la racine carrée de la corde. Le lieu de l'exltémité du rayon vecteur, ainsi obtenu, est une courbe (C) qui va servir à la définition des fondions elliptiques.

Désignons par M et M' les extrémités d'une corde, par N et N' I. I

THÉORIE

les extrémités, svniétriques par rapport au point C, des rayons vecteurs correspondants. La courbe est fermée et convexe; elle a pour axes de svmélrie et pour diamètres minimum et maximum le diamètre JN(,jN„, correspondant à la corde MoM„ passant par le centre du cercle, et le diamètre perpendiculaire A^ rs ', .

On comiendva de considérer comme se correspondant sur la courbe et sur le cercle les deux points cjui, sur une même droite issue du point C, sont situés d'un même côté par rapport au

Fig. I.

pointC. Ainsi, sur la figure, M et N se correspondent entre eux; M'etN', Mo etNoj • • • sont des couples de points se correspondant. Uaire d'un secteur de la courbe, limité par deux rayons vecteurs issus du point C, sera comptée positivement dans un sens de rotation déterminé, et négativement clans le sens opposé. (Une flèche marque sur la figure le sens choisi pour les aires positives.) Le rajon CN^, dont l'extrémité No correspond au point Mo du cercle, le plus éloigné de C, est celui à partir duquel on comptera les aires. Si le rayon mobile CX, tournant dans le sens positif, après avoir décrit un tour entier, continue son mouvement dans le même sens, l'aire sera considérée comme croissant toujours, dépassant ainsi l'aire totale de la coui-be; elle peut croître ainsi sans limite. De même, si le rayon mobile tourne dans le sens négatif, la valeur absolue de l'aire négative peut croître sans limite. Par cette convention, l'aire d'un secteur, limité par le ravon initial CNo et par un ravon mobile CN, est une variable qui

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peut prendre toutes les valeurs depuis — co jusqu'à + oc , et qui varie d'une manière continue avec le rayon CA. lien est de même pour l'arc décrit sur le cercle par le point M qui corresj)ond à l'extrémité Ndu rayon vecteur. Cet arc étant compté comme on a l'habitude de le faire en Trigonométrie, avec le point Mq pour origine, est nul en même temps que Taire variable et croît ou décroît avec elle sans limite. D'après les conventions faites, l'aire NoCN et l'arc MqM sont deux, variables, dont chacune est une fonction continue de l'autre. De plus, à chaque valeur de la \;iriable correspond une valeur, toujours unique, de la fonction. Soient

R le r^ayon du cercle,

o la distance OC du centre de ce cercle au point C,

/ une longueur arbitraire.

Le rapport constant du rayon vecteur CN à l'inverse de la racine carrée de la corde sera exprimé par Zy''2(R -+- o)|:

On désignera par u le rapport de l'aire variable au carré t^ :

aireXnCN "= JT—-

Soit encore 's, la moitié de l'angle au centre MqOM, compté comme l'arc Mo -M. Cette variable o est une fonction de w, continue et déterminée sans ambiguïté pour toutes les valeurs de u ; elle est désignée |)ar la notation

Y Mo 0 .AI = 'j =; ain z<, ([ue l'on énonce amplitude de u.

Modules.

Dans le cas particulier où le point C se confond avec le centre du cercle, la courbe se réduit elle-même à un cercle, de rayon /, et la fonction am?^ est simplement if. Dans le cas général, am?/ diffère d'autant plus de u que l'eKocntricité de la figure est plus

i^randc. Celle cxcenlricilé, élément essentiel de la définition, sera représentée par un nombre Â', nommé module. On considère aussi un autre nombre analogue A', nommé module complémentaire :

Ces deux quantités /.• et h' sont, comme on voit, toutes deux comprises entre zéro et l'unité.

Quand il est nécessaire de rappeler le module de la fonction amf^, on écrit am(w, k) au lieu de mwu.

Définition de K.

Le rapport de l'aire totale de la courbe au carré /- sera désigné par 2K.. D'après les définitions, on a

(amo = o, amaK := tt, ani (2 K -i- ?/ ) = - -T- am ;«,

am( — u) = — ami<.

Et encore, la demi-aire de la courbe répondant au point M„,

(2) amK = -•

Fonctions elliptiques ; argument.

l^es fonctions elliptiques de la variable u sont au nombre de trois, à savoir le sinus et le cosinus de am?/, et la distance du point C au point M, qui correspond à la variable u sur le cercle, cette distance étant rapportée à sa grandeur initiale prise pour unité. Ces trois fonctions seront désignées par les notations sn«, cn«, ài\u, et Ton appelle u V argument de ces fonctions

sn u = sin ani u, cx\u^= cosani u,