CM GAI

(In u

CMu K

Dans le langage babiluel, on énonce successi\cmenl les trois lettres 5, /?, «; c, /?, u; d, n, u.

CHAP. I. — FONCTIONS ELLIPTIQLES A DISCRIMINANT POSITIF. 5

Sur les deux premières la Trigonométrie nous fournil les renscii^nements suivants, d'après (i) et (2) :

' sno = o, cno = r,

l sn2K = o, on2k= — 1,

(3) \ sn(/2.K -^ u) = — ^nu, çn( iK -^ 11 ) = — en»,

sn( — u) = — snit, cn( — u)=^cnu,

snK = I , onlv = o.

Elles sont comprises entre — i et -h i et satisfont à la relation ( î) >n- u -4- en- H = I.

Quant à la fonction dnu^ elle est, par définition, toujours positive; son maximum est l'unité et correspond à la droite CMoi son minimum correspond à CM',, ; il est égal à // :

' (Ino = 1, (InaK = I,

\ dn(7.K-^ u) = ânu,

I dn( — II) = cin II,

{ dnK = A'.

L'angle CMo-M est égal à- — ■:; ; son cosinus est donc égal à

sn«; de plus, la corde ^IqM a pour expression aRsinca, c'est <à-dire aRsnw. Donc la relation fournie par le triangle CMoM('),

CÂi" = GÂÏ^" -^ -MMo' — 2C.M0.MM0 cosL.Uo-M, se traduit en celle-ci

(in- Il = i i , — «n- u.

D'après la définition du module /.", on a donc

(6) dn- u -{- /i- sri- h = i .

En éliminant sn^ M entre (4) et ((3), on a cette autre analogue

(7) 77:;dn-if — -p-; en- u = \ .

(•) Ici uesl supposé entre zéro cl K ; mais, d'après (3) cl (5), si l'on clianfic u en 2>nKrzu, m étant un nombre entier, la formule (G) reste inaltérée: elle est donc entièrement générale. Même observation pour la formule (8a) de la page 7.

6 PREMIÈnE PARTIE. — THÉORIE.

Quand il y a lieu de rappeler le module k, on écrit sn(;/, k) au lieu de snit, et ainsi des autres.

Périodicité.

Les trois fonctions elliptiques sont périodiques ; les deux premières ont la période /jK., la troisième a la période 2K. Néanmoins, on appelle 2K lapériode. En l'ajoutant à l'argument u, on reproduit les fonctions sn et en changées de signe. La période joue le même rôle ici que - en Trigonométrie. La quantité K est la demipériode.

Argument ^K.

hajîg. I fournit encore le renseignement immédiat suivant :

K CM, \/R^~—rji ,,y — ,j

'^"2 = GMo= R + 8 =l/î^— 3 = v//'-

et, par suite, d'après (4) et (6),

K / JK / k

Addition de la demi-période.

Par suite de la symétrie qu'offre la courbe, toute droite passant par son centre C la partage en deux parties d'aires égales. Soit // l'argument qui coiTespond à un point N de la courbe; au point N', symétrique de N par rapport à C, correspond l'argument u -h K. La propriété du cercle, exprimée par l'égalité

GM.CM'= R2— 52, tournit donc celle-ci

(R -I- 0)2 dnu dn{u-+- K) = R^— o'-

ou, d'après la définition du module complémentaire A',

(8) dn(«^K)=-r^.

Dans le triangle CMqM, on a déjà observé que l'angle en Mo est f" — 'f, son sinus est donc cnu. L'angle en ^1 est le supplément

de la moitié de l'angle mesuré par l'arc de cercle MoM' dans le sens positif. Cette moitié est, suivant la définition, VampUludp correspondant au point N', c'est-à-dire am(z/ -h K). Le sinus de l'angle en M est donc sn(?/+K). La proportionnalité des sinus aux côtés opposés, dans le triangle CMoM, fournit donc la relation

CiM en u

C.Mo sn(;/ -H K) Par définition, le premier membre est précisément diw/. Ainsi

(8«) sn(i/— K) = -; •

(In u

Changeant, dans cette dernière relation, u en // 4- K, remplaçan! sn(f^-t-2K) par — sn;/, et dn(«-hR) par l'expression qu'on vient de trouver, on obtient

, CM \ , tr /l't^n u

(8 b) cn(i/H-K) = ; ■•

(in II

Changeant a en — u dans les trois relations (8), (8rt), (8/>), on a

an(K — « ) = -i »

' tl n II

,.. en II

sn(K — «) =

cn(K

(In u

A'sn II

dn II

Pour le calcul des fonctions elliptiques, ces trois relations, jointes à ( /î) et (5), permettent de ramener l'argument à être toujours compris entre zéro et^K, comme, en Trigonométrie, l'angle

peut toujours être ramené entre zéro et 7 pour le calcul des fonctions circulaires (' ).

Dérivées.

Soit 0 l'angle du rayon vecteur CN avec le rayon initial, angle compté dans le sens positif; la dérivée de l'aire de la courbe, par

(') Dans \cs Fundamenta nova de Jacobi cl beaucoup d'ouvrages subsL-i|neiUs, K — u est appelé Vargument complémentaire ; son amplitude est appck-e \* coampUtude de u, en sorte que sn ( K — i^ ) el en ( K — «/ ) sont dénotés sin cojini u, cos coamw; quant à duM et dn (K — u)., ils sont dénotés par AaniM et Acoain jr

8 PREMIÈRE PARTIE. — inÉORIE.

rapport à 0, est ^CN'. D'après la définition de a et l'expression du rayon vecteur CN, on a donc

du \\j- 0

"Je ~ TiM' ■

Soient -::> et '-i' les demi-angles ^MoOM et |MoOM' comptés

Fis. 2.

dans le sens positif, on a, d'après les propriétés du cercle, et, par conséquent,

Soit maintenant un second rayon vecteur C\), coupant le cercle au point M, qui correspond à ]N , , et au second point .M',. On a la relation

!Sni, CM

ÂTM'i ~ cm; '

d'oîi, si M| est inlînimcnt voisin de ^J,

r/.p CM J^ ~ CÂT'' d'3-^(h' AI M' MM'

do CM (U — ojdnu

Mais les précédentes donnent

du R -1- 0

Multipliant membre à membre ces deux dernières et remplaçant ti par ami(, on a donc

rf a m II

De là résulte

en II (In II,

— iln II.

au

d sn u d ïinani u d ani u du d am u du

d en u d cos ani u d am u

— -, = — ; — , — = — inu (In u.

au Cl a in u du

Enfin, en prenant les dérivées dans la relation ('(3),

, d (In u ,, <5? «nif

(In u — , — — k- sn u — ; — = o, au du

d dnu , „

— j — = — A:- sn u en u.

du

Ainsi, en résumé, les dérivées des trois fonctions s'expriment chacune par le produit des deux autres fonctions, sauf un facteur constant :

-j- snu = en u (.ln;<, du

(9) ' -j-cnu^= — dnu iiiii,

-r- ûnu = — A:- sn u en u.

du

Dégénérescence des fonctions elliptiques.

Quand le module A se réduit à zéro, on a vu, par la définition, que la courbe (C) se réduit à un cercle de rayon /; ani« se réduit à II, sntf et cnu à sin w et cosit, et dnu à l'unité. Quant à 2K, rapport de l'aire totale de la courbe (C) au carré /-, cette quantité devient -; ainsi K se réduit à - •

Voyons maintenant ce qui se produit quand /.■ devient égal à l'unité. A cause des relations

dn- u = I — A- sn- u, en- ;; = i — ?n- u,

qui coïncident alors (/.• = i), dnu et cnu ne forment (|u"unc scultet même fonction, tant que u reste compris entre — K cl K, b-

mites dans lesquelles cnu est positif. Les équations différentielles (9) deviennent donc

De là résulte

-,- sn II du

— cn2 u -,— en i< = — en u sn u du

sn u çw-u -^ sn- u i

du

en u en u en u

d du

I sn u en« en if

A . . sn M . , j , • , I

Ainsi étant desiffiie par )', — par x. on a

on fi ° ^ '^ en f< 1 '

dy dx

du ' du

En outre, pour u = o, on doit avoir >- ^ o, x z=\. Ces conditions initiales déterminent complètement .r, r ainsi :

Donc, lorsque k se réduit à l'unité, les valeurs limites des fonctions elliptiques sont

^U p — Il ry

A' = I , sn f/ = , en « = dn f< = , K = ao .

La restriction faite tout à l'heure, exigeant que u soit entre — K et K, disparaît; car l'expression de cnu montre que cette fonction ne devient jamais nulle; c'est qu'effectivement K est devenu infiniment grand. On le voit bien sur la Jig. i. Le point C est sur la circonférence du cercle; la corde CM, devient nulle, et le point N, s'éloigne indéfiniment.

Addition des arguments. Théorème de Jacobi.

Dans l'intérieur du même cercle O que précédemment, considérons {fig. 3) un second cercle c, avant son centre c sur le ravon qui contient déjà le point C. Sur le cercle intérieur c, prenons le même sens de rotation que sur le cercle O, et, en chaque point ï du cercle c, menons la tangente dans le sens opposé à celui de la rotation positive. Cette tangente, ainsi dirigée, rencontre le cercle extérieur en un seul point M, correspondant à T.

D'après un théorème (') de Géomélric élémentaire, 5/ trois cercles ont, deux à deux, un seul et même axe radical, les tangentes menées d'un point quelconque de l'un d'eux aux deux autres ont leurs longueurs dans un rapport constant. Prenons

le cercle c de telle sorte qu'il ait avec le cercle G Taxe radical commun à ce dernier et au point C. S'il en est ainsi, et To désignant le point correspondant, sur c, au point initial ^1„, on aura