CHAPITRE IV. — PROPRIÉTÉS COMMUEES AUX FONCTIOXS ELLIPTIQUES. l3l

Autre forme de l'inversion.

D'après la relation (4^)? on peut, pour chaque racine x^, mettre la différence (x — x.^) sous la forme

— pa

pa — p'- p\

et a est un argument qui, mis à la place de (n-. — ), doit rendre nul le premier membre. C'est donc Wg,.

Ecrivons, pour abréger, u- — = (, et nous avons cette formule

X — Xr, = (a = O, I, 2, o).

P-— PWa P^ — P-

Mais il y faut distinguer des trois autres celle qui correspond à a zrz o, 0Jx= o. Nous avons ainsi deux formules distinctes

De là résulte

X — Xo = ,

pi — p-

2 pt — e^j X — Xr, = (a ==1,2, 3).

Xq —

/g^ (".Ti — ^o)(a7.2— ■r3) ^ e^—es

(072 — a;o)(37i — a^s) ~ É-i— es

Par cette égalité (65) se trouve déterminée une quantité équiva-

lente à l'invariant absolu 2^; c'est précisément le module k qu'on

a envisagé quand le discriminant est positif. On connaît donc, par

l32 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

là, l'invariant absolu des fonctions elliptiques à employer, exprimé au moyen des racines de X. On peut de même déterminer c par Tégalilé, déduite de (64),

Cette dernière donne p-, puis l'une des égalités (64) fixe ^'7-

Cette forme de l'inversion doit être employée de préférence dans les applications, assez rares, où les racines de X sont mises en évidence. Par un calcul facile, on peut retrouver les formules propres à cette solution sans passer par l'intermédiaire de la solution précédente. C'est ce que nous allons faire; mais il importait de bien montrer que les deux solutions diffèrent par la forme seulement, non par le fond.

Nous mettrons, dans ce calcul direct, (v au lieu de ~i et nous

introduirons, en outre, une constante arbitraire A. Ainsi nous posons immédiatement

l X — .ro = — .

j pt — piv

f X Ta — 7— T— < a = 1 , 2, J ,

\ (pa'—e:^){pt — pa')

et nous en déduisons, comme précédemment, — par 1 eara-

lilé (65) et jD(ï' = j3-par l'égalité (66). Il s'agit de retrouvermaintenant l'expression de y/X. C'est ce qui a lieu par le calcul

analogues

suivant, où le symbole II désigne le produit de plusieurs facteurs

X = «o(^ — -^o) I I (-^ ~ -^a) a = ^qA^ TT P f — f g ^ ^^'o A * p'- t

~" (pt — pivy'LLpv — e.^ (p( — pix)'' p'-'ir'

±: /X — s/uq —r

p' w{pt — pwf I flx ApV

I — /x — — ^^^^ ^ I p' w dt