CHAPITRE V

LA FONCTION lu.

Définition de tu pour les arguments réels. — Développement de "lu suivant les puissances ascendantes de u. — Homogénéité. — La constante r,. — Addition des arguments. — Un coi-oUaire. — Arguments purement imaginaires. — Arguments complexes. — Infinis de la fonction ^u. — Dégénérescence de Cm. — Remarques sur l'intégration de la fonction p{u — v). — Relation entre r\, t)', w, w' quand le discriminant est positif. — Relation entre t,, t,', oj, w', quand le discriminant est négatif. — Etude de la fonction

ch

première propriété. — Addition d'une période au premier argument de «I'(a, a). — Expression de ^{a, a) quand luQ des arguments est une demi-période. — Addition d'une période au second argument de *(«, a). — Généralisation des propriétés précédentes. — Addition simultanée des deux demi-périodes, dans le cas du discriminant négatif. — Valeurs limites de 4>(a, x) quand les arguments

i fj) ( ,1, a) convergent vers des périodes. — Propriétés de la fonction ^'(fl, ->. ) = e-

Définition de Iji pour les arguments réels.

Nous allons introduire une nouvelle fonction, l'intégrale de pu. Considérons d'abord les valeurs réelles de u.

Désignons par 2w la période réelle, quel que soit d'ailleurs le signe du discriminant. Les valeurs de u, multiples de 2(o, forment obstacle à l'intégration de pu. Mais, quand u converge vers un (juelconque 'iifno de ces multiples, la différence

tu — im(x> )-

reste finie. Le même fait se produit pour la fonction trigonomé-

trique / ^ • Prenons donc la fonction

\ 2 10 sin —

2C0 sin —

CnAPITRE V

LA FONCTION tjl.

Cette dernière reste toujours finie, quelle ([ue soit la ^alcur de l'argument réel ?/, et on peut l'intégrer entre des limites quelconques. Elle a d'ailleurs, comme pu, les deux propriétés

Soit maintenant F(;/) son intégrale, et posons ¥{i()= f f[u)dn,

i f{u)du.

La fonction F(;0 est définie sans ambiguïté par la relation (3); d'après les relations (2), elle a aussi les propriétés

F ( w -h ;/. ) -4- F ( co — 11)^=1 Tj ,

F(« -i- 2Co) = Y{u) -^ ir^.

Comme F(?^) a été composée en introduisant un terme Irigonométrique étranger, il convient maintenant d'en retrancher finie grale de ce terme, et voici la nouvelle fonction '^{u) que nous introduisons

Cu = — co

•2 tu / . ûu ]

I \ 2 to sin — /

du.

Elle a les propriétés suivantes

du

Ç( ff -^ 2 W ) = ^ « — 2 Tj ,

Ç(a) -+- u)^- !r(oj — Il )— 2T,,

Comme F(«) est toujours finie, ^u devient infinie avec le terme trigonométriquc. Donc ^u est infinie pour fi=-'^.nu<). m ('lanl un entier quelconque. D'après (6), on a

lim ( ^11 11=0

l36 PREMlÈnE PARTIE. — TIIÉOKIE.

et, d'après la troisième égalité ('-),

C'est, au surplus, une fonction bien définie, sans aucune ambiguïté.

Développement de ^ji suivant les puissances ascendantes de u.

A l'égalité (6) on peut en substituer d'autres plus simples, où les termes trigonométriques sont remplacés par des termes algébriques, par exemple

(10) 11 u= ■- f (— — p^Hf/».

Il faut remarquer d'abord que le second membre n'a de sens que si l'intégrale reste finie. Cette égalité (10) exige donc la conditioji

Sous cette réserve, l'égalité (10) a lieu effectivement; car

(sM ) et l'intégrale ont même dérivée ( — — pif)' d'après ('-'),

et même valeur pour a = o, d'après (8).

On peut employer cette formule (i o) pour développer ^u suivant les puissances ascendantes de u. Nous avons trouvé (IV, 4)

u- 20 28 2*. 3. 52 2*. 0.7. II

et nous en pouvons conclure

II' ^3 II'

Il 20 i 28 5 2*. 3. 5- 7 2*. 5. 7. II 9

Un théorème général (') nous enseigne que cette série tu converge dans la même étendue que la précédente pu; mais nous ne ferons pas usage de cette série (i i) pour généraliser la fonction t. Remarquons seulement que l'homogénéité de pu se traduit dans

(') Pour une série procédant suivant les puissances d'une variable, à exposants entiers, croissants et positifs, le cercle de convergence est commun à la série cl à la série des dérivées.

CIlAPITRi: V. — LA FONOTIOX -//.

la série pu par ce fait : clans chaque terme la somme des indices des lettres ^, diminuée de la moitié de l'exposant de u, est toujours égale à + I . Dans la série Zu, cette même somme algébrique-

est égale à j

Homogénéité.

Ce caractère de la série (ii) se lindiiit par la relation dliomogénéité

(ju'on peut aussi déduire de la définition (6). 11 suffit, à cet efTel. de se rappeler que, changeant «, x,'», ^3 en --^, g-^'j.-, i?3 '-/.', il

faut aussi changer oj en -— , et que ces changements transforment p en 'JL p.

La constante t,.

Nous avons déjà introduit cette constante /. -= 'Cw. On peut la définir par l'égalité (10) :

Remarquons que r/o est. au point de vue de l'homogénéité, une quantité de degré zéro. Quand on remplace ff^ et ^3 par «"oii.- cl gi'^\ il faut remplacer r, par 'r,\ [J-t comme "Ç par ^\/'J--

Addition des arguments.

La formule d'addition de pu sous la forme (I, 2^), qui a été utilisée au Chapitre IV (Inversion des intégrales elliptiques),

I d p';/ — p'f •* ' ^ ' 1 du ])u — ]w

conduit à l'addition de? arguments pour X.u. Lcrivons-la comme il suit

du du 1 jî u — \^v

et concluons que les deux fonctions, dont les dérivées sont ainsi égales, diffèrent seulement par un terme indépendant de u.

l38 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Pour Irouver ce terme, développons chacune des deux fonctions suivant les puissances ascendantes de //

11,(11 -r- c) = Çr -^ i(^\' . . . ^ Çt» — it pv . . . ,

Il 20 3 En nous bornant au>: trois premiers termes, nous avons donc

D'autre part,

i(p'u — r'n = — -^ — ipV-^...,

pu — pv = — —pv-\-...,

•i pu — pv u

La comparaison des termes aux seconds membres, dans (i4) et (i4«), permet donc de conclure la formule d'addition

(i5) Ç(,< -H r) = Ç;<-f- Çt'-4- - ^! ^

Voici une conséquence dont nous aurons à faire un fréquent usage. Changeant v en — c et ajoutant membre à membre, on voit disparaître "C^v dans la somme "C^v -h Ç( — r) ^ vC — uc = o, cl il reste

(16) x,{u-^v)^Uu — i^) — iUi= '^ "

pu — pv on, par un simple changement des lettres,

Un corollaire.

Le corollaire suivant , relatif à la seule fonction p, est curieux en lui-même et, de plus, va bientôt nous être utile. Pour abréger, écrivons

•1 p II — pv

CnAPITRE V. — LA FOXCTIOX Z II . 1 89

Prenons quatre arguincnls u, c, u^, c, . Nous avons, d'après (i 5),

^(h -4- (• -^ i<l — (^l) — ^(f< -I- (')—?( "l^- <'l) = (^" — '■> "l-^''l), ^(m -^ (■ -^ f<l-f- Cl) — ^(fi -- ?0 I — ?('■ -t- fi ) = (" -^ "l- '' — '"iji

et, en retranchant ces équations membre à membre,

Mais, toujours d'après (ij), on a

Ç(?< -i- i') — — Zjl — tv — (u, V),

— r(?/i-i- l'i) = — ^z/j — rci —{uuvx).

Ajoutant ensemble ces dernières égalités, comparant le premier membre à celui de (18) et observant qu'au second membre les quatre symboles "C disparaissent, nous avons le corollaire en question

Dans cette égalité (19), les symboles ont la signification (17). C'est là une identité qui se trouve prouvée pour le cas où les quatre arguments sont réels, hypothèse introduite dans notre analyse par la considération de la fonction c, que nous connaissons seulement pour les arguments réels; mais aucun doute ne peut exister sur la généralité de la formule (19), qui s'étend certainement à tous les cas, que les arguments soient réels ou complexes. On s'en convainc par un raisonnement pareil à celui qui a été employé au Chap. II pour des cas analogues. Au surplus, une vérification directe s'offre d'elle-même. Rappelons-nous que («, t^) a pour dérivée, par rapport à //, pu — p(n-{-v). Nous voyons alors que chacun des deux membres de (19) a. par rapport à u, pour dérivée

pu — pi 1/ — ifi -4- (' -+- l'i).

Les dérivées des deux membres, par rapport à u, sont égales entre elles; et il en va de même pour les dérivées par rapport à chacun des autres arguments. Les deux mendircs diffèrent donc seulement par une quantité indépendante de ces quatre arguments. Mais ils sont identiques entre cuk quand, par exemple, ?/, = r. Ils sont donc constammenl éiraux.

l4o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Arguments ptirement imaginaires.

En même temps que

envisageons la seconde fonclion

(21) Zn = Z(ii; g.,, — gî), comme clt''jà nous avons considéré à la fois

]^U = p(u] g., g^) et ÏMl = p{a; gn, — gz).

De même que la demi-période réelle ô7 de pu a été désignée par — , de même la constante T. relative 'd'eu sera désis:née par ir'. Ainsi, suivant (i 3),

(22) T. = if' = = -^ / ( û u ] du = 1.1» = t ( ^■\'

Pour définition de Ç caec un argument purement imaginaire, nous prenons l'égalité suii'ante, suggérée par la relation d'homogénéité (12),

(23 ) i( iu) = — /;://.

Conformément à cette définition, on a

-^ij)

Cette nouvelle l'onction ^v, où l'argument v = iu est purement imaginaire, jouit des propriétés reconnues déjà pour lu avec l'argument réel, sauf changement de y,, co en //, to'. En efïel,

' dv ■ i du ■ du - •• •^ '

(20) ^(t- -f- 2to') = — iZ,{u -\- KTi ) = — t( Çif -h 2Y^) = ^t' -T- 2r/.

Ce sont les analogues des relations (^). On établit de même la relation analogue à (8). D'une manière générale et sans calcul, on voit que toute relation établie entre les fonctions C, p, j)' avec un ou plusieurs arguments réels ou purement imaginaires subsiste quand on \ nuiillplic chaque argument par /. En effet, l'homogé-