CHAPITRE V. — L\ FONCTIOX 'Cjl. l^l

néité exige que cetlc relation reste inaltérée si l'on v multiplie chaque argument par ^/<j. et qu'on v remplace ^, j), p', en même temps, par -7=^, -.p, — p p'- Ceci doit avoir lieu quelle que soil la

quantité réelle ^/a, et subsistera nécessairement si l'on suppose v/|j. = i.

Il est évident par là que la relation d'homogénéité et le théorènnd'addition ont lieu pour les arguments purement imaginaire-; comme pour les arguments réels.

Arguments complexes.

Désignant par a, a deux quantités réelles quelconques, nous connaissons, pleinement et sans ambiguïté, "Ca et Oa. Définissons maintenant "(^{a + /a) par la formule que suggère le théorème d'addition

1 pa — ji i a

On vérifie immédiatement, par cette définition, l'exactitude des relations suivantes :

( u—u) = — :^it, \

1 t{ u -^ "i- muy — 1 m' m' ) ^= t u -r- i m T: -^ 1 m' r' f

1 i m ( "Cil

^ y, , ■ ^ (> „, . , . , dZ{a — il)

da -^ ■ d(ioL) ^^ ' J ^ d{a-i- lyi)

Cette dernière prouve que "Çk a une dérivée, quand 1/ est une (piantité complexe, et l'on a

( 28 ) -j- Z n = l' u = — pu.

au ' ^

La relation d'homogénéité et le cas parli(ndier (23) sont exact-; aussi, quel que soit u. Le théorème d'addition (i5) a lieu également, quels que soient u, v. Pour le vérifier, remontons à la définition (26), en employant la notation abrégée (17). Soient

u = a -— ia, V =^ b -r- «[3.

1^2 PIIEMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

La définition (26) de ^{i( + c) est la suivante :

^^u 4- r) = Ç(a --7;) -f- ^(la -f- ««.) -^ ( a — b, la — i.3).

En y employant le théorème d'addition (i5) démontré pour les arguments réels a, b et pour les arguments purement imaginaires i'a, i'^, nous pourrons l'écrire ainsi

D'autre part, le second membre de la formule (i5), dont nous voulons vérifier la coïncidence avec l'expression (29), est ici

r(/« -^ laj —Z(b^ i^) H- (a — i'a, 6 — iJS).

Suivant la définition (26), ceci est égal à

Ya^ ■(^ix-r- 'Cb — ^i'i-^{a, ia)-t-(6, t^)-f-(a-^ fa, 6 -r- ip).

En comparant cette quantité au second membre de (ag), nous voyons que la différence est égale à

{a, b) — (ta, i3)

-r-(<2-t- 6, i'a-t- i[B) — [(rt, ta) -m; 6, «"?) — («-- f^j ^-^ i?')\-

Cette différence est nulle d'après le corollaire (19), où l'on change les notations en y mettant u = a^ Us = ^, v = ly., Vt = «j^. Donc, le théorème d'addition (i5) et ses conséquences {\Ç>) et (16 «) sont exacts pour les arguments complexes.

Infinis de la fonction ^u.

Jusqu'à présent, tous nos résultats s'appliquent quel que soit le signe du discriminant. Voici maintenant une question où va s'accuser une différence entre les deux cas que présente le signe de A.

Nous avons reconnu que (^rt, où a est réel, est infini pour les valeurs de a multiples de 203, et non autrement; et de même J^«a, où a est réel, est infini pour les valeurs de f'a, multiples de 2(o', et non autrement.

Quelles sont les valeurs complexes de u^= a -\- i-j. qui rendent infini 'C^ul

La définition (26) répond à cette question, et l'on rencontre la