MM

Soit M" le second point de rencontre de TM avec le cercle. Portons de même sur la tangente TJM, à partir de T, la longueur

^■■i.ToM,, MM"

(') Qui se démontre ainsi : soient en coordonnées rectanf,'iilaires A = 0, B = o, C = 0 les écjuations des trois cercles. La communauté de l'axe radical s'exprime par l'identité A = Xl$ -H ixG, X et jx étant des constantes. D'ailleurs B cl C sont les carrés des longueurs des tangentes menées d'un point aux cercles B =: o, C = o. Si donc ce point est sur le cercle A = 0, l'égalité B : C = — ,a : X prouve le llu'orèmc.

mais en avant soin de la porter seulement clans un seul sens, celui

même de TM. Le lieu du point «, soit la courbe (c), est fermé et

convexe. Cette courbe est extérieure au cercle c.

Considérons l'aire comprise entre le cercle c et la courbe (c), à

partir de la tangente To«oi et décrite par une tangente mobile T/?.

tournant autour du cercle. Avec les mêmes conventions qui ont été

faites relativement à la courbe (C), cette nouvelle aire prend toutes

les valeurs depuis — ce jusqu'à +00 . L'aire (c) décrite, à partir

de To/?o? P^r "lie tangente mobile T/iM correspond, en vertu des

conventions et sans aucune ambiguïté, avec l'aire (C) décrite

par le rayon vecteur CNM correspondant. Ces deux aires sont

nulles ensemble. Il va être âémonlré quelles sont éqidvale/ites.

Soit

aire «oToTn

Soit aussi 9| l'angle de T^L compté dans le sens convenu, avec CMo. La dérivée de la nouvelle aire, par rapport à 8,, est ici encore

Donc

dOi ~ MiM" ■

Désignant encore par 2'j et acp" les angles ^lOMo et M'OMo, on a, exactement comme dans le cas de la courbe (C),

f/Oi = rh — ch",

ch ™ f/e, MM"

d^" ^ TM"' 7/7 ~ TM"'

De là résulte semblablement

et, puisque l'on a il en résulte

dui lo-Mo

d'^ , du

du,

—7~ = i et Ui — u ; (tu

car Ui est nul avec u.

Par le point M", menons maintenant la seconde tangente M"T"

CHAP. I. — FONCTIONS ELLIPTIQUES A DISCUIMIXANT POSITIF. l3

(lu cercle c. Son point de contact T" est celui qui corres)3ond à M", d'après les conventions. Mais, les deux tangentes M"T et M"T" étant égales, la relation

^o ^ ^ ~ TM"" donne celle-ci

rfca d'J' TM "" T^''

Soit u" l'argument qui correspond à ]M", comme u correspond à .M ; on a

do du do" du"

Par suite

TM ToMo T"M" ToMu du = du".

Dans le cas de la courbe (C), où le cercle c se réduisait au point G, le point M" était remplacé par M', et l'égalité r/a = du' avait lieu aussi. 11 n'en a pas été parlé; car il était alors évident, à cause de la svmétrie de (G), qu'on a

Ici la différence u" — u est encore constante; mais cette constante n'est plus égale à K. Il suflit d'envisager la position initiale de la tangente ]MyToM|, pour reconnaître que cette constante est l'argument ;/y qui corresjiond au point M^. Par conséquent :

Sic est un cercle intéi-ieur ciu cercle O, avcint c(vec ce dernier et le point G même axe radical, et cju'on mène dans le cercle O une corde variable MM" tangente au cercle c, les deux points M et M" correspondent à des arguments u et u" dont la différence est constante.

Ce théorème est dû à Jacobi.

Au lieu de porter les longueurs T/? sur les tangentes dans le sens opposé à celui delà rotation positive, on peut les porter dans le sens de cette rotation; alors le point M„ est au-dessous de la ligne des centres, et u[^ est supérieur à K.

l4 PREMIÈKE PARTIE. — THÉORIE.

Digression sur les polygones de Poncelet.

Supposons qu'un triangle de sommets M M, Mo, placés dans cet ordre pour le sens de rotation positif par exemple, soit inscrit dans le cercle O et circonscrit au cercle c. Les arguments des trois sommets seront successivement u, a-\-i/[^, u-\-2i/'[^, et, puisque la corde Mo M est encore tangente au cercle c, l'aire de la courbe est décrite complètement, et Targument qu'on obtient en revenant au point M a les deux expressions

« -f- 2K et a ~h 3 u"q.

Donc

Vinsi le cercle c n'est pas un quelconque de ceux qui ont, avec O, l'axe radical donné. Il est déterminé par cette condition que le

2K -, , point M'y réponde à l'argument Cela étant, chaque point M

du cercle O sera un sommet d'un triangle inscrit au cercle O et circonscrit au cercle c.

Au lieu d'un triangle, supposons un polygone de p côtés, inscrit dans O et circonscrit à c. Admettons, en outre, que ce polygone, s'il est étoile, se recouvre lui-même q fois (q = i pour un polygone convexe). Si u est l'argument du premier sommet, on retrouvera, après avoir décrit le polygone dans le sens positif, pour nouvelle détermination de cet argument, les deux expressions

if -+- iqK. et u -{- pd[^. Donc ?/'ô = -^— • De là le théorème de Poncelet :

Si deux cercles sont, Van inscrit^ Vautre circonscrit à un polygone fermé, il existe une infinité de polygones, ayctnt pareil nombre de côtés, à. la fois circonscrits au premier cercle et inscrits dans le second.

Construction pour l'addition des arguments.

Sur le cercle O {Jig. 4)» prenez le point A répondant à l'argument «, et tracez le cercle c, tangent à MqA, ayant avec O l'axe radical donné, et intérieur à O, ce qui se peutfaire d'une seule ma-

CHAI'. I. — FONCTIONS ELLIPTIQUES A DlSCniMINANT POSITIF. l5

nière ('). Prenez le point B répondant à l'argument b^ et menez, par ce point B, l'une des tangentes au cercle c, savoir celle cjui du point de contact au point B est dirigée dans le sens négatif ou dans le sens positif, suivant que A est au-dessus ou au-dessous de la ligne des centres (sur la figure, A est au-dessus, et la tangente

Fit

SB est dirigée de S vers B dans le sens négatif de rotation). Prolongez celte tangente jusqu'à la seconde rencontre en D avec le cercle O. Le point D répond à Vargument («H- b). C'est, en effet, ce qu'indique le théorème de Jacobi. Les lettres A, B, D, b, a remplacent ici M„, M, M", u, u^.

La représentation de am?^ par un point M du cercle O renferme un défaut : un même point M correspond à tous les arguments qui diffèrent par un multiple ^«e/co//^^/e de aK, tandis que ?,nu et cnu restent inaltérés seulement quand on ajoute à l'argument un multiple paii' de 2K. En second lieu, l'argument u\, désigné maintenant par rt, est supposé, d'après l'analyse précédente, compris entre zéro et 2K. Quand, tout à l'heure, nous passerons de la construction aux formules, il faudra avoir égard à ces circonstances. Mais, sur la figure, ces circonstances n'ont aucune inlluence; elle reste inaltérée quand on attribue à l'argument d'un

(') Prolongez M^^A jusqu'à la rencontre avec l'axe radical en \\; par R menez la tangente au cercle O, et prenez, à partir de R, sur RA.M^,, du coté où se trouve A, une longueur égale à celte tangente. Vous obtenez le point de contact du cercle c.

l6 PREMIÈUE PARTIE. — THÉORIE.

point, sur le cercle O, des valeurs qui difTèrent par un multiple quelconque de aK.

La construction précédente, dissymétrique par rapport aux ar2;uments a et h qu'on additionne, peut être faite aussi dans Tordre inverse; le résultat ne sera pas changé. Par conséquent, si Ion mène le cercle Ci, taugent à MoB, toujours intérieur à O et avant avec O Taxe radical donné, et qu'on mène par A la tangente à ce cercle c,, en observant les mêmes conventions que précédemment, cette tangente passera au point D. On aura ainsi un quadrilatère Mq ADB dont deux côtés opposés MqA, DB sont tangents au cercle c, et les deux autres MqB, AD au cercle C). De là un théorème de Géométrie élémentaire (').

Le point D représente la somme des arguments représentés par A et B. Par suite, A représenle la différence des arguments relatifs à D et B. On a donc encore une liaison analogue entre les points D, A et le point B' svmétrique de B par rapport à la ligne des centres ; ce point représente, en effet, l'argument — b : étant tracé le cercle Co, tangent à MqD, et étant menée à ce cercle, par le point B', la tangente d'après les conventions admises, cette tangente passe au point A. Si, de même, par le symétrique de A, on menait la tangente à Co, cette droite passerait au point B.

Formules d'addition.

Une seule équation suffit évidemment à traduire la relation qui existe entre les trois points A, B, D ; par conséquent aussi à fournir les trois formules d'addition pour les trois fonctions elliptiques. C'est ce que rend évident la considération des égalités

sn- u -^ en- « = 1 , (ln2 // -4- A- sn- ;< = i;

d'où l'on peut tirer deux des fonctions quand on connaît la troisième. INIais, en suivant la voie qui s'indique ainsi, on introduirait des ambiguïtés avec les radicaux. Pour les éviter, nous conclurons des constructions ci-dessus trois égalités.

Afin de faire disparaître toute incertitude, supposons d'abord

(') In quadrilatère clanl inscril dans un cercle 0, si l'on mène un cercle c tangent à deux cotés opposés, cl un aulre cercle c, langent aux deux autres côtés, ayant, en outre, son centre en ligne droite avec les centres des deux autres cercles, les trois cercles ont, deux à deux, niènic axe radical.

a et b compris, tous deux, entre zéro et K ; alors d =^ a -\- h sera entre zéro et 2K. (Dans la figure, d est entre K et ^^K.) Les amplitudes de rt, 6, r/sont, toutes trois, comprises entre zéro et -; leurs sinus, c'est-à-dire snrt, sn^, snr/, sont positifs. Comme l'amplitude de a est le demi-angle mesuré |iar lare MqA, on a

2R sn a = -My A ;

chaque fonction sn est représentée ainsi par une corde.

On devra se souvenir aussi que la fonction dn est toujours positive. Pour chaque cercle, tel que c, dn 11 est le rapport des tangentes menées à ce cercle du point qui représente u sur le cercle O, et du point Mq.

Marquons le point de contact de chacune des tangentes précédemment menées aux trois cercles c, Ci, Co, et par le moven de ces tangentes exprimons, de toutes les manières possibles, dn<7, dn^, dnc/. Des égalités ainsi obtenues, nous tirerons les formules cherchées.

A chaque cercle, on a mené deux tangentes dont lune part de ^lo ; soient T, T|,To les points de contact des trois tangentes menées de Mq aux cercles respectifs c, C|, Co ; elles aboutissent respectivement aux points A, B, D. Soient S, S(, S2 les points de contact des trois autres tangentes, les indices correspondant à ceux qui distinguent les trois cercles : S est sur BD, S, surDA, Sosur AB'.

Il v a encore une tangente ^loB' menée au cercle Co mais on n'aura pas à la faire intervenir. La dissvmétrie provenant de ce <[ue la droite ASo passe par B', et non par B, disparaîtra des l'orraules; les fonctions dn coïncident pour B et B' qui répondent à des arguments égaux et de signes contraires.

Par A passent trois tangentes, de même par D; il en passe deux par B et une par B'; de là trois expressions pour chacune des quantités dnrt, dn6, dnt/; les voici rangées suivant l'ordre des indices des trois cercles c, C|, Co :

^\ Si A S, A SB T,I{ S.,R'

'■"^-tm-o-tTaTo-tT^'

I /- m AiL -liP

l8 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Des liois rapports siliiés dans la diagonale de ce tableau, déduisons dabord

, Ain A

'-''""= TÂÛ'

, . M„D I — dnd = •

Dans chaque couple de lignes du tableau, il existe deux rapports dans lesquels les segments, en numérateur, ont la même extrémité S, S) ou So. En ajoutant les égalités correspondantes membre à membre, nous avons

dnO -f- (In (/ = fj^— - , cl II d — dn « = -

Il Mo AB'

ToMo

Divisant membre à membre chacune de ces dernières égalités avec celle qui occupe la place correspondante dans la série précédente, nous obtenons

fin A — (In d BD I -r- dna Mo A

âxid -h fin a DA

1 — fini MoB

dna-i- dn b AB'