CHAPITRE V. — LA FONCTION lll

La fonction (i) f{u) se réduit alors à une constante, et nous avons ainsi les formules de dégénérescence

( A = o, ^3>o, Ç«= -^ î< — — cot-^,

Bien entendu, on doit mettre là r,2 et too, au lieu de r, et to, quand A est supposé négatif.

De même, quand ^^3 est négatif, en substituant, dans f{u), à pu sa limite, on trouve, par une quadrature facile,

A = O, i^3 < O, tu = —2- U ; — , f =: ,

lu

Ces formules sont établies ici pour un argument réel. Elles s'appliquent naturellement à tous les cas : après tant de détails déjà donnés sur le mode de raisonnement qu'il convient d'employer en pareil cas, la démonstration n'a pas besoin d'èlre reproduite.

Remarques sur l'intégration de la fonction p(?f — r).

Supposons r quelconque, mais a réel, et considérons l'inlé-

grale / piii — v)cla. Elle n"a un sens précis que s'il ne se trouve

aucune période parmi les quantités (/ — v), t étant une variable réelle qui parcourt toutes les valeurs de zéro à a. C'est ce qui aura lieu si, par exemple, v est complexe et que sa partie imaginaire ne coïncide pas avec un multiple de o(o', si A est positif, on de o)'.,, si A est négatif.

Supposons qu'il en soit ainsi, en sorte que l'intégrale ait une valeur finie, quelle que soit la variable réelle a. On aura, en ce cas,

(34) X,(u-v)-^ly = -~ f p{u-i-)du.

l46 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Les deux membres ont tous deux, en eft'et, pour dérivée

et sont nuls, tous deux, pour u = o.

Cette égalité (34) exige, avons-nous dit, que. parmi les quantités {t — r), il n'y ait aucune période. S'il s'en trouve, nous pouvons remplacer la formule (34) parune autre, comme nous l'avons fait, par exemple, en employant l'égalité (lo).

Soient H', n',, . . . ces périodes : nous écrirons

u — r — w V -^ IV II — r — iv'i v -i- iV] 1 1

u'i )- m — V — iV) /-

(lu.

L'intégrale reste toujours finie, les deux membres ont encore même dérivée — p{ii — t) et même valeur initiale zéro povir u = o.

Mais ici, comme dans la formule (lo), il faut que u soit limité: car, s'il en était autrement, w -{- i m^^y, (v,H-2/«co, ... seraient encore des périodes à éviter; leur nombre, tant cpie u resterait indéterminé, serait indéfini, et la formule (35 ) ne pourrait subsister : il la faudrait changer en une autre, analogue à l'égalité (6). Voici un exemple, où v est supposé purement imaginaire et, comme tel, remplacé par iy. :

- ly. ly. ,f^ L (

()n N suppose

(if))

cyy-

11 — iy) du.

ces inégalités ne doivent pas d'ailleurs se changer en égalités, e! l'on veut, bien entendu, pouvoir y faire varier a dans ces limites. Quelle est alors la limite supérieure de u ?

On a tenu compte de la période zéro, mais non pas d'autre. Si donc le discriminant A est positif, on devra supposer en même temps

Si A est négatif, il faudra éviter les périodes 20), et 2CO3, et