CHAPITRE V. — LA FONCTION Cil

Cet arc est parfailemeal dclerminé. En effet, x varie direc-

lemenl de zéro à - sans devenir infini dans l'intervalle : c'est la a

définition même de l'intégrale. L'arc variable, dont la tangente

est X, part de zéro et aboutit à sa valeur finale sans passer, par

conséquent, par ±-- L'arc égal à l'intégrale est donc compris

entre — - et + - : il a d'ailleurs le signe de - •

Revenant à notre objet, nous avons maintenant l'égalité

I(o' 2 T) -r == aarctangT

f -^ dx du ^— -t- ^ '-T-— — p(it — i'x) — p{u H- ta) .

Dans cette relation (44)> changeons ^3 en — ^3 , ce qui entraîne le changement de — en (o et de oj en — , ainsi que de /, en f r,'. Echangeons en même temps les lettres u et a dans l'intégrale, et nous aurons

lirjto = aarctang- Mais les relations

(a — iu )'- {a -T- ta)'' (a -+- iu)'^ (« — t'a/-i

p(a — iu) = — p(ji -+- ta), j5(a -t- iu) = — p(u — ta)

permettent d'écrire le résultat sous cette autre forme

1 2tr, w = 2 arc tan g -

/ — / du ( d-j. U — - -f- ^—. — : — p{u — ta) — piii -H ta)

Si l'on compare les deux intégrales qui figurent dans (44) et (45), on reconnaît que les quantités intégrées coïncident entre elles; la différence porte seulement sur l'ordre des intégrations.

l5o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

Mais la quanllté inlégrée étant toujours finie clans le champ des intégrations, l'ordre est indifférent, et ces deux intégrales n'en font qu'une. Elles disparaissent donc si l'on ajoute les deux égalités membre à membre ; d'ailleurs

arc tangT -!- arc tang - = - ■,

à cause de la manière dont sont déterminés les deux arcs. On a, j)ar conséquent, la relation

i Ti 10 -f- T. -T- = - j l 1

OU. SOUS sa forme définitive,

, , iiz

C'est la relation qu'il s'agissait d'obtenir.

Relation entre f,, ^', w, oj' dans le cas où le discriminant est négatif.

L'analyse est la même que pour le cas précédent, mais se fonde sur la formule (42). On a d'abord

■>. o), cH r ' 2 Wo di. w'., ; — = / —s = -larc tangTo, T2 = ■^-^',

|)ar conséquent, au lieu de l'égalité (44)' on obtient celle-ci

1 'jiTj, -^ = 4a'"c tang'i2

f -f- / c/a / du[-:.{u,'x) — ]){u^i-3.) — ]-i[u — i-J.)]d'x;

et, au lieu de ( i5), celte autre

2 JT| ., Mo = 4 arc lang —

/ du 1 doL\'j,{u,y.) -p{ii-{-iot.)^p(u—i:>.)]d'x.