CHAPITRE V. — LA FOXCTIOX ^.U

La conclusion est donc

on trouve ici une constante double, i~ au lieu de — • Mais, d'après

(3i), nous tirons de là

Tel encore, on le voit, les demi-périodes co,, CO3, avec A << o. jouent le même rôle que to, to' avec A >> o.

Étude de la fonction 'l'i a, a)= / [Z{a-^ {a)-i-^(« — «■a)]f/a.

Première propriété.

L'analyse précédente s'étend immédiatement. Considérons la fonction suivante

c'est, comme on voit, une fonction réelle de a et de a. En niettanl. pour abréger,

' [u — l'j.)'- ia — fï.)- '

nous pou\ons exprimer <!> par une intégrale double tl'où a (bsparu Z. Ce sera, d'après (Sg),

-— — -- — / <r/a / dtflia.T.).

ou bien, en changeant la variable d'intégration dans l'intégrale simple,

C'est à dessein que nous laissons subsister lintégrale simple. Il est essentiel de se rappeler les limites imposées à a et a; ce

l52 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

sont les mêmes que pour u cl a dans (Sp), savoir Si A > o,

Si A<

ato.

Pour le cas du discriminant négatif, on a le choix entre les limites (55) ou (55 a).

Considérons, en même temps, la fonction <!>,, semblable à <ï>, mais obtenue par le changement de gi en — ^3, et échangeons-y les lettres a, a; en conséquence,

I [^( a -T- ia) -i- r(a — ia)]da.

Sous le bénéfice des restrictions (54) ou (55), on aura aussi

Jr ^ /7i/ r" r'^

.i.(a. a)= ^— V^, - —V^, -Jl(a^

Par conséquent, on conclut, comme dans les deux paragraphes précédents,

r" dx r^ dy