a,a,,-<IMa,a, = 2J^ TTl^ "^ V„ i
Mais on a, en faisant ;>'=-,
r '"■ dy /•-' dx
et le signe de la limite supérieure coïncide avec celui de -• Réunissons les deux, intégrales, nous obtenons
r" dx ç- " dx r^
dx
CIIAPITRK V. — LA FONCTION l.ll. , I OO
Voici donc la propriété que nous trouvons (58) *(«, a) + 'I>,(a, «)==i:7r;
/(' siffnc du second membre coïncide avec celui de - » ela, y. sont
renfermés dans les limites (54), (55) ou (55 «).
La somme (58) est donc une fonction discontinue, passant brusquement de + T à — - quand une des variables passe par zéro. On peut de plus observer que, d'après la définition (5i), ^(«, a) est égale à zéro (piand un quelconque des deux, argumeuiscst nul: ainsi ( 59 ) <I>(o, ai = o, <t>(«,o) = o.
La somme (58) passe, disons-nous, brusquement de 4- 7: à — -. Au moment du passage, elle a la valeur moyenne zéro.
Cette discontinuité ne doit pas surprendre. Elle ne tient pas à la nature des fonctions elliptiques, mais elle est dans Tessencc même des intégrales définies. On a vu (pi'elle se trouve également dan> la somme
dx r dy
r dx r dy ^^ -
Nous allons procéder à une élude de la fonction <ï>, en nous proposant de reconnaître comment elle varie quand a et ta s'augmentent des périodes, et comment aussi la relation (58) doit être modifiée quand a et a sortent des limites (54) ou (55), (55 «).
Remarquons, comme conséquence immédiate de la définition (5i), les deux, égalités
Addition d'une période au premier argument de *(«!, a).
La relation (2^),
Z.(a -t- 2 m (o) = Ça -h 2 m -q
donne immédiatement, d'après la définition (5i),
*(a -+- 2 m to, a) = / [\ m q + Ç(a -f- i a) -{- Z,(a — i a)J doc, do
(Ci) *(a -•- irnoy, a) = 4//tr,a -f- •!»(«, a),
l54 PREMlÈltE PARTIE. — THÉORIE,
formule nar rcinploi do lai[iiclli' le premier argument peut être ramené entre les limites ( — co, -4- w), ou plu-; ^généralement entre <leu\ limites distantes d'une période 2to.
Expression de 'P(a, ai quand l'un des arguments est une demi -période.
iJaprès la iclaliou
Z\0) — /a» -^ Zc-'i — l'j.) = 2 r,,
«m conclut de la définition (-m)
(62; «iMio, ai = 2Y,a.
Semblablement, pour la fonction $,, obtenue par le changement de gi en — "s, changement qui entraîne celui de o), r,
Oj' . ,
en ^- 1 vr . on a
(Ju ne saurait trop rappeler que oj' et y/ sont purement imagi-
naires^ par conséquent. — et vr; sont réels.
Pour obtenir maintenant <I> ( c/, A- j -, recourons à la formule (58).
En supposant, comme cette formule Texige. a entre les limites (54) ou (55), suivant le signe de A, nous j)Ouvons lécrire ainsi, en
(. . to'
j taisant a ^= — ,
La quantité s sera l'unité positive ou négative suivant que a sera positif ou négatif. En outre, il faudra supposer s = o quand a est nul lui-même, [)uisque les deux fonctions ^ et <I>, sont alors nulles; mais, c est là un trait essentiel dans ces discontinuités, £ doit être <ionsidéré comme égal à riz i quand a est, non pas nul, mais infîjiiment petit. Cette définition de s est rappelée par les relations
î=ihr, îa>o; z = o «i « = o.
Ceci entendu, nous concluons de la dernière égalité et de (62 «)
<I. la. i
CIIAPITRK V. — L.V FONCTION ^«. l55
Mais ici a esl liinilé, comme nous l'avons dit. Pour afTranclnr (/ <Je ses limites, substituons celte expression de 0(a, — j au second
membre de ((n), où nous prendrons a =3 -^- Nous aurons ainsi
2/;i(o, -^ I — ^ mr^ -^ — nr, a -+- t~.
Soit t/ — 2nit<i = b. \c6 conditions (54) ou (55) deviennent respectivement
■2.( m — ijoj ^ 6 < 2(/« -f- i)w, si A > o, ( 2 m — I ) W2 < 6 < ( 2 ?n -f- I ) 0)2 , si A < o.
La définition de t devient
£ = zr:i, z(b — 2mco)>o; i — o si b — imi^i'.
et l'égalité (63) s'écrit sous la forme
/ w' \ w' . , , , '''S'^ — '''i' '-'^ ■ Il
<P (b, —1=4 f)if, — — iir, {b — 1 m to) — £- = 4 m -. 2 rr, i; — i-.
Remplaçons mamtenant ;— ^ — ]iar - ou par t:. sunaul le
signe de A, et distinguons les deux cas. Pour celui où A est positif, on pourra limiter b dans un intervalle de grandeur 3to, au lieu de 4oj. comme cela a lieu dans la formule ci-dessus. La quantité t n'aura alors que les valeurs + i ou zéro. Mettons, en outre, a au lieu de b, et résumons le résultat :
' A > o, 2/na) S « < 2(7?i ~ i)o),
(64) ' '\>i^a, ^\ -^ — ■li-f.'a —{-xm-^z)-,
î = I, -auf au cas a = inno où £ = o.
I fl> / a, -^ j =^ — 2 rr/2 a -r- ( î /n H- £)it,
£ = — 1 si ( 2 //i — i) t02 < a < 2 m 102,
î = o si a = 2 m 0)2,
ô= — 1 si 2/«i02< a < (im-i- i)t02.
A ces dernières formules il convient d"en joindre encore une. rcla-
l56 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.
livo au cas où a esl de la forme (2 /« -r- 1)100. D'après (61) el (62). on a
[w!, H co';, io'.> , . u)',
On peut écrire sous une autre forme
(66 a) *[(-^^.)co„^J^2(2,»-0(— ^ --7-;
^ — 2(2m -f- I jtT/2C02+ (4/^ -r- 2)-.
D'après la formule (65), quand a passe, en croissant, par la vah'ur (2/?i + j){.)o, la fonction ^ia. — | -^ ivf(.,a subit un changement brusque, de (4 /« -^ i)-à (4/^1 -i- 3)7:. On voit, par (66 «), qu'au moment du passage elle acquiert la valeur moyenne {^f\m + 2)-. Le même fait a lieu, quel que soit le signe de A, quand a passe par les valeurs iniM, comme on le voit immédiatement dans les formules (64) et (65).
Addition d'une période au second argument de *(a, a). Considérons l'intégrale
Si m est pair, changeons a en a -^ m —; la relation
( m pair) ti u - ■ m -^ ) ^= Z u zh m y,
donne immédiatement I„, ^ I^ = <Im <7, — ) ■
Si m est impair, changeons a en [m -h 1 ) — — a; la même relation donne encore I„, = Iq. Ajoutons ensemble lo, Ii ? • • • - Iw-i • L'^ somme est égale à ml(^; mais c'est aussi l'intégrale prise depuis
/.éro jusqu'à m —■> c'est-à-dire <I> ( a. m — j- Donc
( 67 ) ^*( ft. m -^\ ^ m 4» ( a
