CHAPITRE V. — LA FONCTION tu

Prenons maintenant l'intégrale

par le changement de ,3 en 2 « -^ + ,3, et en vertu de la relation

^(« r!= 2/ll0') = Ç« Z± 2«T)',

elle dcvicnl

^ ir(«-- ?'3)^ lia— t3)]^3 = *(a, a). • 0

Ajoutons-la à la somme !(,+ I, -r • • . + Ii>«i- Nous aurons ainsi une intégrale, prise depuis zéro jusqu aa/î— + a; par cons('([n(Mii

* I a, a -{- i rt ^ ) = 2 /i 'T> I (7, — I 4- * (a, a).

La démonstration que nous venons de faire pour cette formule suppose n positif, mais il suffît de l'intervertir ainsi

<\>(a, a) = — 2rt * ( n, —r \ -- '!> i a , 'j. ~ xn -^ \

pour reconnaître qu'elle s applique également au cas où n est négatif. Prenons cette dernière forme en y remplaçant n par — n.

(68) ^{a, %) — -iii^i «, ^ )^ * ( <"'! ^ — 2/1 —

Généralisation des propriétés précédentes.

Employons maintenant les égalités (61), (64), (65) et (68) pourréduire explicitement les deux arguments à être compris dans liiilervalle d'une période.

ans le cas A > o, supposons a com|)ris entre -i n — el2[n + i)~'

et «, comme dans (64), entre '.>. ni to et a(m -+- i)(o. Transformons le dernier terme de (68), d'après (61), en écrivant

'lu a, Cl. — 2 /i -r j — î /« Tj ( a — ■>. /i — r ) 4- 'I» ( a — 2 «« to, a — 2 n -r 1 )

l58 PREMIÈRE PARTIE. - THÉORIE.

Cl remplaçons aussi <ï>(c/, ^ ) par son expression (64). Les termes du second membre, outre la fonction fp, sont les suivants :

4 mTj ( a — 2rt A- j -l- 2«[— lifl a -^(im -j- e)-].

Nous les mettrons sous la forme la plus symétrique en rcmplaçanl i.-f^iù' par la cpiantité égale Y,(o'4-r/(o -h 7^' f't nous aurons la formule suivante :

/ A>o, amco ^ « <2(m -t- 1 )oj, L m' ^ , . m'

I in -r- OL <i2(n -4-l)-r-'

( 69) \ *(«) ^) = 4 /«'"i^ — 4 ni(' a ~ I inni{-r^i<'>' -^ t/oj)

-f- 2 n ( /n -^ ô) 7T -f- *I> I rt— 2 /» w , a — % Il -

= 1, sauf au cas a=^}.inM, où c— o.

Nous pouvons maintenant généraliser la relation ("iS). Changeons 0^3 en — «3, par conséquent

tO, Y, Oj', t/

en

et, en même temps, échangeons a. a par conséquent aussi m. n: nous aurons

a) = 4 nh^ a — ^mr^n — 4 "}ni(-rj o) -^ T,t./) (69

) -+- 2 /?? ( H + s' ) - — <I>i ( a — ■.i/t'^ , a — 2 7?î to

La quantité î' a, par rapport à a, menu; significalion que t [)nv rapport à a.

Dans les deux fonctions <I> et $,, qui sont aux seconds membres <le (69) et (69 «), les deux arguments sont entre les limites (o, 2to)

(o, ^4^)- On peut donc leur appliquer la formule (58), et leur

somme est zéro ou ±: rz, suivant les cas, que Ion peut réunir en