CHAPITRE V. — LA FONCTION ""-II. 1 Sg

représentant celle soninie par tt'-. \^ joutons membre ;i membre (69) et (69 «), el voici la formuh' cherchée :

> o . 'x m co ^ « •< 2 ( //i -7- I ) co , ■m ^ a<2(/n-i) -r.

= I, sauf au cas a = mio). où

sauf au cas a = 2«

Dans le cas A<^o. voici comment se fait le même calcul Supposant a dans les mêmes limites quaux formules (65) e\

aussi 7. entre (2 /« — \)-^ e\ {\>.n-\-\) -: ■> nous remplaçons au second membre fie (68). comme tout à 1 heure.

4» 1 <7, a — in -^ \ pa

et, suivant (65),

2/i'l> ( a. A- ) par 2/i[— iJT/ja-;- (4/«-i- îj~].

Nous mettrons, en outre, au lieu de 2r,,co'^ , la quantité égale Y,,oi!, -h ^loWaH- i~- et nous obtiendrons une formule qui différera de (6g) par un seul terme

< o, {•>. m — Il 0J2 < a < (2 /?i -T- I J too.

<I> (<7 , a ) = i //rr, 2 a — I n it^ '., a -f- i //? /* / ( r, 2 1'-> 2 -^ '^ '2 ''■*:! ^ -^ 2 n (2 //J — s ) - -(- <I> ( a — 2 //« t02 , 'j. — in

■ I , (2 /» — • I ) t02 < '^Z ■< 2 /?l W2, O, rt = 2//10J2,

■ 1 , 2 //? CO2 'C ^ <I (2 /?l -^ I ) l'J2 •

Prenons ensuite, comme tout à l'heure, l'expression analogue de <t) (a, d) el remplaçons la somme des deux fonctions <P du second membre suivant la formule (58). Leur somme sera îî'-, car les deux

y6o PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

arguments sont lim entre — wo et 4-oJo, 1 autre entre — -^ el

-I r'- . On aura donc

A < o, f 2 /?j — I ) to, < a < ( ■>. «i -i- I ) W2, (2/1 — I ) -^ < a < ( 2 « -M ) -T^ 5 «ï>(o. aj -f- *i(a, a) = [(a/?? — s)(2« -i- s'j -t- 4 /»/? ]-,

fo'.,

a = ■un coo,

Ces formules (71) et (-2) ne conviennent pas quand a ou a atteint une demi-période. Suivant l'observation faite à la suite de la

formule {GQ)-, si a devient égal à (iin — i)ojo, ^ia, ^ ) subit une

diminution brusque, égale à 7t. Il faut donc diminuer le second membre, dans (71), de inr.. L'anal vse se poursuit sans obstacle, car la formule (58) permet à un des arguments de devenir égal à une demi-période; on déduit donc immédiatement de la formule (72) les deux suivantes :

*(«. a)-h *i(a, a) = {{im — i){in -\- z ) -{- \ mn — in]T. , a ^= {im — 1)109 ;

<^(a, a)-l- <ï»i(a, a) = [(2m -i- î)(2rt — i) -h ^mn— ■iin'\-,

Mais, quand a et a sont à la fois des demi-périodes, il faut encore prendre une nouvelle formule, d'ailleurs fort aisée à construire. Nous avons, d'après (67),

«1> (im — l)W2, {-211 — l) -A = (2/i — 1)* (2771 l)W2. -^ >

et, d'après (61) et (62),