CHAPITRE V. — LA FONCTION lu. i6l

d'où résulte

'1' (2//i — i)co2, {in —i) -^ — i{in — i)(2/n — i ) . -

l a = ( 2 /?« — I ) co.,, a = ( 2 n — I ) ^= , (72C) j • ■ «

( *(«, a) — 4'i(a, a) = 2(2/4 — \){im — i)-.

Addition simultanée des deux demi-périodes, dans le cas du discriminant négatif.

Prenons Fidentité

a ^ Lù^ziz 17. = toi I— w., — « =: M a 7^ 1 ;

puisque cooiii (o!, est une période, nous avons

De la définition (5i) on peut donc déduire '!>(«-;- C02, a) = / [^(a -t- oJo-^ ^ ' -i- ?(« -^ W2 — ■x)\d%

= 2r,2a+ / , ' [aa^- f;3)^-r(« — î3)]rf-i.

Séparant la dernière intégrale en deux autres, ayant toutes deux une limite égale à zéro, on conclut

Changeons a en a H ^ j remplaçons $[ «, ^ 1 par sou expression (65), et nous avons la formule cliercliéc

r = 2T,2a — 2JT,2a -r- 2T,2 ^^ -H ( 4 «i -H î) 77 -^ 'P( « . Ot ) ,

l62 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

dans laquelle ni el t ont la nième significalion que pour la Ibrmulc (65).

Valexu's limites de *(«, a) quand les arguments convergent vers des périodes.

Nous savons déjà (Sp) que <!> est nul quand un des arguments est nul. Mais il n'eu est pas de même quand un argument esl infiniment petit; e'est là un des caractères de discontinuité.

i'' Quand a tend seul vers zéro, la définition (5i) montre que tl>(a, a) tend aussi vers zéro. Il n'y a là aucune discontinuité. Ainsi

(74) lim*(rt, a) — o.

CL — a

'2^ Quand a tend seul vers zéro, on voit dans les formules (70) ou (72) et (726) le terme 'ï^i(a, a) tendre vers zéro, comme ou vient de le reconnaître, tandis que le second membre présente une discontinuité; donc <ï*(a, a) est discontinu quand a tend vers zéro; sa valeur limite n'est pas la même quand l'infiniment petit a est positif ou quand il est négatif. Effectivement, l'égalité (53)

<^(rt, a) = / -^-^^ — / d'j. / cla <\{a, a),

dans laquelle a est supposé entre ;- et + ^^r- , et dans laquelle

aussi 'i;(<7, a) conserve toujours une valeur finie, fait voir que 0(a,a) se réduit à la première intégrale : celle-ci devient ri -.

suivant le sic-ne de - • Nous avons donc ° a

( liin*(a, a) = es't:, îa>o, î'a>o,

w^) 1 9. co' 2co'

3" Si a et a tendent ensemble vers zéro, la même égalité (53) fait voir que •!•(«, a) est indéterminé; sa valeur limite

(76) liin 'l»(a, a) = aarctang -

dépend de la manière dont a et a tendent ensemble vers zéro ; c'est un arc quelconque, compris entre — - et + -.