CHAPITRE V. — LA FONCTION lll

Oa pourra, sans aucune difficulté, passer ensuite à Texamen des discontinuités qui s'offrent quand les arguments tendent vers des périodes. Les formules des paragraphes précédents, qui donnent le résultat de l'addition des périodes en fournissent le moyen. Nous laisserons ce calcul, comme inutile.

Ce qu'il importe beaucoup plus de savoir, c'est s'il n'existe pas d'autres discontinuités. A cette question, la formule (53) répond par la négative, dans les limites où elle s'applique; puis, au cas A^o, l'égalité (69) enseigne que les discontinuités ne peuvent passe présenter autrement. Au cas A<o, l'égalité équivalente (^i) montre que les discontinuités se produisent seulement quand a ou a converge vers des périodes ou des demi-périodes. Mais, à l'égard des demi-périodes, la formule (53) fait encore voir que les discontinuités s'offrent seulement si a cl a tendent, à la fois, vers ces demi-périodes.

Pour ce cas, les égalités (73) et (76) nous donnent

un '1> a — wo, a -; ^ = £- — 2 arc tans ^ 2t,,^^ ,

\ £a>o, E = =ri.

Propriétés de la fonction ^Vici, y.) — e- ' . C'est cette combinaison

(78) W{a, oi) = e- = cosi* — i sini*

(|ui jouera, dans le Chapitre \ I, un rôle considérable, en nous conduisant à la connaissance de la fonction dans laquelle se résume toute la théorie. Les propriétés qu'on vient de reconnaître à la fonction 4> se traduisent en propriétés correspondantes, qui appartiennent à W. Pour en obtenir les expressions explicites, nous n'avons à faire, pour ainsi dire, qu'une transcription des formules. Mais, à cet égard, il y aura lieu à quelque simplification : l'intégrale ^{a, a) se rencontre dans les applications, et il était utile de développer, pour elle, les formules sans qu'il s'j présentât aucune restriction. Mais W n'est qu'un intermédiaire; nous ne prendrons pour cette fonction que les formules dont nous aurons besoin au Chapitre VI. Ainsi nous ne supposerons pas que les arguments puis-

l64 PREMIÈRE PARTIE. — THÉORIE.

sent être égaux à des périodes, mais seulement qu'ils puissent converger vers des périodes.

Nous transcrirons d'abord les formules qui s'appliquent, quel que soit le signe du discriminant, puis celles qui sont propres au discriminant positif, enfin au discriminant négatif.

Conséquence de (60).

/ Wi-a,oi)W{a,oC) = i;

Conséquence de (61).

Conséquence de (74)-

(81) lim W(a, a) = i.

Conséquence de (75).

La forme du second membre, et' i, résulte de ce que e '^ est égal

Conséquence de (76).

Si 0 est l'arc dont la tangente est —, W converge verscosfi + isinO. Cet arc, à cause de sa définition, est, on l'a déjà vu, compris entre

— - et H ; son cosinus est donc positif. La partie réelle de W est

donc positive, etl'ou a

il- 11-/ \ T «-4- ta lim "t (<7. g) = lims -■,

£ — zh 1 , £ rt >o, y/a- -f- a- >■ o.

lim^^(«,