CHAPITRE VI

LA FONCTION ru.

Définition de :ru pour les arguments réels. — Homogénéité. — Dérivée. — Addition de la période. — Racines réelles de (Tu. — Formule fondamentale. — Arguments purement imaginaires. — Arguments complexes. — Imparité. — Changement de u en iu. — Dérivée. — Addition des péi'iodes. — Addition do la période 2oi^{à. <.o). — Continuité de Tu. — Dégénérescence de ?«<. — Lacune que présente le développement de l'u. — Propriétés caractéristiques de ru. — Équation à trois termes. — Les fonctions cr,?/, r^u, r^u. — Expression des quantités \/pu—e,^ par les cr. — Diverses expi'essions de v/e, — e,, de ^e, — e,, i/e^ — e^ et des quantités analogues. — Addition des demi-périodes dans les fonctions r. — Expression de p'« par les a". — .Multiplication de l'argument dans ru. — Intégrale complète de la fonction Ç.

Définition de cfu pour les arguments réels.

L'intégration de 'C,u est l'origine de la fonction que nous avons encore à introduire. Soit w une période : quand u converge

vers iv, ^u devient infini à la manière de » et son intégrale

devient, elle aussi, infinie, mais à la manière de log(M — w). Pour éviter cette singularité, on prend pour nouvelle fonction une exponentielle, dont l'exposant est l'intégrale de ^ii.

En définissant ^i/, nous avons considéré (V, 3) la fonction

r « — -^ cot — = F (u) r= f /(u) du

' " I \ 9.cosin — /

du.

Elle est finie et continue pour toutes les valeurs (réelles) de u. hà même propriété appartient à son intégrale 5" («)

(•2) i(H) = f ¥(u)du= f du f du

2to sin —