CHAPITRE M. — LA FONCTION -^ tl. 1 6ç

La nouvelle fonction s'a sera définie par l'égaillé

(3) j//= — • sin — e

- 2 OJ

C'est une fonction impaire comme le sinus j car F(a) est impaire et, par conséquent. J iu^) paire :

Homogénéité .

Les relations d'homogénéité établies successivement pour J)'//p?/, v« font aj)paraîtrc toutes ces fonctions comme homogènes cl des degrés respectifs — 3, — 2, — i, quand on y envisage w, o). '•)' comme étant du degré i, et ^o, g^ comme étant des degrés — 4,

— 6. La combinaison F(i<) est, comme X^u. homogène et du degré

— I, et son intégrale J(w) est homogène et du degré zéro; par conséquent, "iu est homogène et du degré i :

( 5 ) 3- ( ^ ; ^2 !-«•-, gi ;-^^ ) = -'^ :^(« ; gi, g%).

Celte relation (5) comprend la précédente (4) comme un cas particulier.

Dérivée.

Par la définition (3), on obtient

l -j- Xo^L-iu— -^ cot ~ h ¥(11) = tu,

} du 2 oj 2 to

Addition de la période.

D'après l'égalité (V, 5)

F(j< -I- 2W) = Y {il) -4- 2T,,

on obtient, en intégrant de zéro à u,

4(u -+- 2W) J(2W) = J II -- 2r, u.

Faisant k = — o), nous voyons, dans cette relation, se déiniirc

lyO PREMIÈRE PARTIK. — THÉORIE.

los deux lormcs -f (?^ -f- 9. to) du premier membre, el J(«)du second membre, la fonction J étant paire; donc

^■(U -^ 2 co) ■= .î (î/) -+- 2r, (i< -^ to).

13'aiitre part, sin ^^ — se reproduit, changé de signe, quand on change ii en [ii -^ 2w). Donc, d'après la définition ( 3),

ce qu'on peut écrire aussi

a'(to-4- u)

j (to — II)

lV)ui- laddilion île inibi, on déduit de (-) ■iiu — irriM)

^2r,f«-^!îTO— i)w!

:î[u — 21//? — U wj

3'[i«-!-2(/n — 2)wJ '

Muhipliant ces égalités membre à membre, el tenant compte, ])our composer l'exponentielle, de la relation

on obtient la relation générale

j[u -i-imui) , , ,

qui. démontrée ainsi dans l'hypothèse m positif, est vraie aussi, quand m est entier et négatif. C'est ce qu'on voit par \o changement de u en — ■ u dans cette relation (c)) elle-même.

Racines réelles de :!u.

L'exponentielle r"*^"" est toujours positive, sans devenir jamais nulle; donc, suivant (3), du a toutes les racines du sinus, sans en avoir d'autres. Les deux fonctions ont toujours même signe. Les racines sont de la forme ù = im(.<).